mercredi 18 janvier 2012

INEXISTANCE DES MARTINGALES ?

INEXISTENCE DE MARTINGALE

Le résultat de Dubins et Savage est décevant, car il indique que vous devez jouer le plus vite possible. Si ce qui vous amuse est le jeu, la conclusion obtenue est la pire de toutes celles qu’on pouvait découvrir.
Cela est en fait lié à la loi de la perte constante : Quand on joue à un jeu avec une probabilité p inférieure à 1/2 de gagner (pour le joueur), alors, quelle que soit la stratégie utilisée, on perd « en moyenne » proportionnellement à ce qu’on mise.
Tout cela est tristement simple : les pertes moyennes ne dépendent que des sommes posées sur la table et sont déterminées par le coefficient p du jeu.
La façon de jouer est sans importance, martingale géométrique ou Jeu hardi ou stratégie optimale, tout est équivalent.
Une conséquence de la loi de la perte constante est aussi qu’aucune martingale ne retourne jamais les probabilités de gains en votre faveur. Autrement dit, il n’existe pas de martingale. En particulier :
- aucun avantage ne peut être obtenu en ne jouant que sur certains tirages ;
- aucun avantage ne peut être obtenu par celui qui décide de la fin de la partie (le droit de faire charlemagne ne sert à rien) ;
- même si l’on veut diminuer son espérance par franc misé, on ne le peut pas. Finalement, plus vous jouez, plus vous perdez, inéluctablement.
Pour perdre le moins, vous devez jouer le moins possible. Pour ne pas perdre du tout, vous ne devez pas jouer du tout.
Il est difficile de se persuader complètement que prendre en compte le passé est inutile, et que ce n’est pas parce que le rouge est sorti 10 fois de suite que le noir a plus de chances au coup suivant.
Cependant il faut s’y résoudre : les jeux de casino sont idiots, et ce sont bien des entreprises commerciales dont la rentabilité est assurée sur le long terme par des lois mathématiques démontrées et testables.
Au total, mon ami qui prétendait pouvoir gagner à la roulette a tort : plus on joue plus on perd, rien n’y fait. Dans son raisonnement de départ, il y avait une erreur : si l’on vous donne un total de sommes à miser, il n’existe ni de bonnes façons de le jouer, ni de mauvaises.
Ramené au total de l’argent que vous posez sur la table, vous ne pouvez ni bien jouer, ni mal jouer.
Toutefois, comme Paul Deheuvels le fait remarquer, les règles du jeu de la roulette autorisent d’autres mises que les mises simples, par exemple les numéros pleins, qui conduisent à gagner un multiple de sa mise ou à la perdre (avec une probabilité de gain plus faible qui maintient une espérance de gain positive pour le casino). Il n’est pas impossible qu’en utilisant pleinement les mises autorisées d’autres méthodes permettent par exemple d’améliorer un peu le 0,90426... trouvé pour passer de 10 à 11 à la roulette française.
Hélas, il n’y a pas grand-chose à grignoter, car pour passer de 10 à 11, à un jeu défavorable, le produit de la probabilité de réussite r par votre gain souhaité (1 franc) sera toujours inférieur à votre probabilité de perdre vos 10 francs, multipliée par cette perte. Donc : 1r < (1 – r)10, qui implique que r < 10/11 = 0,90909... (ce 10/11 que l’on obtient en faisant n’importe quoi lorsque p est égal à 1/2 est une barrière inaccessible lorsque p est inférieur à 1/2).

GAGNER AUTREMENT ?

Nous avons jusqu’ici supposé que le jeu était équitable, dans le sens que la roulette était bien équilibrée : chaque numéro a une chance sur 37 de sortir (une sur 38 à la roulette américaine). Il se peut que cela ne soit pas le cas parce que la roulette est truquée ou usée (la durée de vie d’une roulette utilisée tous les soirs est d’environ dix ans).
Vient alors l’idée de miser sur ce qui tombe le plus souvent, de façon à profiter de l’inégalité des chances entre numéros. L’idée générale d’exploiter l’imperfection des roulettes n’est pas absurde et elle fut effectivement utilisée par William Jaggers à la fin du XIXe siècle.
Il gagna ainsi 1 500 000 francs à Monte- Carlo, à la suite d’une analyse fine des fréquences de sortie des numéros.
Depuis, les casinos ont compris que leur intérêt est que les roulettes soient bien équilibrées et ils y veillent soigneusement : l’intérêt d’un casino à la roulette est qu’il n’y ait aucun biais !
Plus récemment, en 1978 et 1979, Norman Packard et Doyne Farmer, par une technique de mesure de la vitesse de la boule et du cylindre portant les numéros réussirent à prévoir la zone où devait arriver la bille avec une précision suffisante pour renverser l’avantage du casino en leur faveur. Cela leur permit de gagner plusieurs milliers de dollars. Les mesures et les calculs étaient faits à l’aide d’appareillages qu’ils portaient sur eux, cachés dans leurs vêtements. Ayant observé une roulette attentivement, je dois avouer que je doute de la véracité de cette histoire.
Un autre jeu de casino doit être mentionné, le black jack. Contrairement à la roulette, il n’est pas toujours défavorable aux joueurs. À la suite d’études menées à l’aide d’ordinateurs depuis 1956 plusieurs mathématiciens ont mis au point des techniques de jeu (nécessitant le plus souvent de mémoriser les cartes qui passent) qui, quand elles sont appliquées rigoureusement (ce qui demande de longues semaines d’entraînement), renversent les chances en faveur du joueur.
Certains joueurs tentèrent de s’aider d’ordinateurs cachés sur eux pour appliquer ces méthodes plus facilement. Les casinos ont appris à repérer et à dissuader les joueurs trop concentrés (parce qu’ils mémorisent les cartes jouées) qui tentent d’appliquer ces méthodes et qu’on appelle des « compteurs de cartes ». Les joueurs se font aussi repérer par les variations brusques des mises qu’ils font et qui sont caractéristiques (il paraît qu’en France les casinos n’empêchent pas les « compteurs de cartes » de jouer ; je n’ai pas vérifié !). De plus, les casinos se sont mis à utiliser des quadruples jeux de cartes pour rendre ces méthodes inopérantes.
Pour faire fortune, il n’y a décidément rien à attendre des jeux de casino.
Jean-Paul DELAHAYE est professeur d’informatique à l’Université de Lille.

MARTINGALES THÉORIE DES

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3.  Martingales à temps discret et théorèmes de convergence

Le cœur de cette partie est l'étude des théorèmes de convergence. Nous donnerons quelques idées sur le théorème d'arrêt, les résultats de convergence, les inégalités et quelques applications.

•  Théorème d'arrêt

L'idée essentielle contenue dans ce paragraphe est la suivante. Pour un jeu équitable, dans un intervalle de temps borné, il n'existe pas de « stratégie » (c'est-à-dire de façon de miser et de quitter le jeu en tenant compte uniquement des coups passés) qui permette de gagner. Ainsi la stratégie « bête » de l'exemple 1 n'est-elle pas plus bête qu'une autre.
En termes mathématiques, cela se traduit de la manière suivante : le caractère de martingale d'un processus n'est pas affecté par un temps d'arrêt. Plus précisément :
– on dit qu'une variable aléatoire T à valeurs dans N est un temps d'arrêt par rapport à une filtration (ℱn) si, pour tout entier n, {T = n}, est ℱn-mesurable : autrement dit, en termes de jeux, l'instant T où on décide de quitter le jeu ne dépend pas des informations connues à ce moment-là.
– Si T est un temps d'arrêt relativement à (ℱn), on définit la tribu ℱT (dite tribu associée à l'instant aléatoire T) par l'ensemble des événements A tels que A ∩ {T = n} soit ℱn-mesurable.
Moralement, c'est la tribu des événements antérieurs à T : si T(ω) = n0 fixé, on retrouve bien ℱn0.
Théorème. Si S et T sont deux temps d'arrêt bornés vérifiant S ≤ T, alors
presque sûrement.
Il en résulte, en prenant l'espérance des deux membres, que E(XT) = E(X0) pour tout temps d'ar […]



mise si l'on perd, et cela jusqu'à ce que l'on gagne. Exemple : le joueur mise 1 unité sur le rouge, si le rouge sort, il arrête de jouer et il a gagné 1 unité (2 unités de gain moins l'unité de mise), si le noir sort, il double sa mise en pariant 2 unités sur le rouge et ainsi de suite jusqu'à ce qu'il gagne.
Cette martingale est théoriquement sûre. Mais elle présente deux inconvénients majeurs :
  • elle est limitée par les mises que le joueur peut faire car il faut doubler la mise à chaque coup tant que l'on perd : si on perd 10 fois de suite, on doit pouvoir avancer plus de 500 fois sa mise initiale !
  • de plus, pour paralyser cette stratégie, les casinos proposent des tables de jeu par tranche de mise : de 1 à 100 euros, de 2 à 200, de 5 à 500, etc. Impossible donc d'utiliser cette méthode sur un grand nombre de coups, ce qui augmente le risque de tout perdre.

L 'Alembert

(référence à Jean le Rond d'Alembert, mathématicien du XVIIIè siècle)
Le principe consiste à augmenter la mise d'une unité après une perte et à diminuer la mise d'une unité après un gain.

La contre d'Alembert

Cette martingale reprend le principe de celle d'Alembert mais les mises se font dans l'autre sens : il faut donc ici diminuer la mise d'1 unité lorsque l'on perd et augmenter la mise d'1 unité lorsque l'on gagne.

Les autres

  • L'Américaine
  • La Hollandaise
  • La Piquemouche
  • La Whittacker

Martingales et mathémathiques

Loi de Dubins et Savage


Mathématiquement, Lester Dubins et Leonard Savage ont démontré en 1956 que la meilleure façon de jouer dans un jeu où les probabilités sont défavorables au joueur consiste à miser toujours ce qui permet d'approcher le plus rapidement le but visé. Intuitivement ce résultat semble évident: si à chaque partie on a plus de chances de perdre que de gagner, autant minimiser le nombre de parties jouées. Ce résultat signifie également, qu'à moins de disposer d'une mise de départ infinie, il n'existe pas de stratégies permettant de renverser les probabilités en votre faveur dans un jeu qui vous est défavorable. Il faut noter que même dans le cas d'un jeu équitable, le joueur le plus fortuné est favorisé, tout simplement car il a plus de chances de ruiner son adversaire et donc de l'empêcher de continuer à jouer.

Probabilités

Il existe cependant certains jeux de hasard qui ne sont pas systématiquement défavorables au joueur. On peut citer par exemple le cas de William Jaggers qui gagna un forte somme à Monte Carlo au XIXe siècle en étudiant systématiquement les fréquences de sortie des numéros à la roulette. Il put ainsi déterminer certains numéros qui avaient une probabilité de sortie qui lui était favorable. Aujourd'hui les casinos se protègent contre ce genre de pratiques en entretenant soigneusement leur matériel, si bien que les dispersions sont extrêmement faibles. Ceci signifie que les probabilités de sortie d'un numéro donné sont au mieux très légèrement favorables au joueur. Il faudrait donc parier un nombre immense (souvent pendant plusieurs mois) de fois des petites sommes pour espérer un gain probablement très loin de rémunérer les efforts consentis.
Le black jack est un jeu qui possède des stratégies gagnantes : plusieurs techniques de jeu, qui nécessitent généralement de mémoriser les cartes, permettent de renverser les chances en faveur du joueur. Le mathématicien Edward Torp a ainsi publié en 1962 un livre Beat the Dealer qui fut à l'époque un véritable best-seller. Mais toutes ces méthodes demandent de longues semaines d'entraînement et sont facilement décelables par le croupier (les brusques changements de montant des mises sont caractéristiques). Le casino a alors tout loisir d'écarter de son établissement ces joueurs inopportuns. Le black jack reste pourtant le jeu le moins défavorable au joueur : l'avantage du casino n'est que de 0,66 % face à un bon joueur, il est de 2,7 % à la roulette et jusqu'à 10 % pour les machines à sous.

Numéros les moins joués

Dans les jeux où le gain dépend du nombre de joueurs gagnants (Loto...), jouer les combinaisons les moins jouées optimisera les gains. D'ailleurs si la Française des Jeux publie largement les statistiques sur les numéros tirés, les statistiques sur les numéros joués sont jalousement gardés.

Les méthodes miraculeuses

Un certain nombre de revues ou de site internet prétendent vous renseigner sur la « forme » des numéros, c'est-à-dire leur probabilité de sortir dans les prochains tirages. Voici par exemple un tirage de 50 boules de loto: 39, 38, 42, 29, 18, 48, 40, 36, 9, 24, 49, 33, 47, 9, 45, 7, 11, 49, 16, 28, 27, 25, 16, 27, 22, 48, 5, 24, 16, 6, 4, 14, 17, 44, 46, 9, 37, 22, 39, 12, 33, 9, 21, 44, 11, 33, 19, 20, 37, 18. On s'aperçoit que la boule 9 est sortie 4 fois alors que la boule 8 n'est jamais sortie. Suite à des calculs savants, les auteurs de ces « méthodes » vous diront alors que le chiffre 9 est en forme et qu'il va donc sortir dans les prochains tirages ou au contraire que la loi des grands nombres implique que le 8 à une probabilité plus forte de sortir pour combler son retard.
Il s'agit bien entendu là d'une erreur à la limite de l'escroquerie caractérisée. Les boules de loto ne s'amusent pas à compter le nombre de fois où elles sont sorties de la machine, d'autant plus qu'il faudrait qu'elles soient suffisamment coquettes pour ne pas prendre en compte les tirages de tests ou de calibration des machines. Si chaque boule a en moyenne une chance sur 49 de sortir, cette probabilité n'est vrai que pour un nombre infiniment grand de tirages. Le fait que la boule 9 soit sortie 4 fois de plus que la boule 8 n'a donc aucune importance puisque les probabilités ne garantissent pas que chaque boule va sortir le même nombre de fois, mais simplement que la différence du nombre de sorties de deux boules sera très petite par rapport au nombre total de tirages : rien ne dit que la boule huit va finalement rattraper son retard. Par exemple, si au bout de dix mille tirages la boule 9 est sortie 206 fois et la boule 8 est sortie 202 fois, on obtiendra une fréquence de 1,01/49 et 0,99/49. Au millionième tirage si la boule 9 est sortie 20410 fois et la boule 8 est sortie 20406 fois on obtiendra respectivement 1,0001/49 et 0,9999/49. Les fréquences s'approchent de plus en plus de la probabilité théorique de 1/49, pourtant la boule 9 conserve son avance de quatre sorties sur la boule 8.
Il faut noter qu'il existe également d'autres méthodes un peu plus évoluées. L'une d'elles repose sur les combinaisons les moins jouées ; partant du principe que l'organisateur de la loterie redistribue les gains entre les gagnants, elle se propose de vous vendre des combinaisons qui sont statistiquement très rarement utilisées par les autres joueurs. D'autres reposent sur le pari d'un biais systématique : les tirages ne sont pas exactement équiprobables, suite par exemple à d'infimes différences de poids des boules. Même si le calcul de l'espérance mathématique de ce type de martingale est beaucoup plus complexe, le bon sens indique que si l'auteur de la recette trouve plus rentable de la vendre que de l'utiliser pour son compte, c'est probablement que son efficacité est à peu près nulle.
De plus la loi des grands nombres —invoquée par ces escrocs— exige que les événements soient indépendants, c'est-à-dire que leur réalisation ou non à un instant donné ne dépend pas de la réalisation ou non aux instants précédents.

Calcul stochastique

Une martingale désigne aussi un processus aléatoire dynamique tel que la valeur espérée du processus connaissant l'information disponible à une certaine date est la valeur à cette même date : ( est un processus adapté à la filtration ).


Comprendre les explications des martingales afin d'adopter une suite logique permettant des gains sur le court terme

Il est nécessaire de connaître les principales variantes des martingales pour mettre les chances de votre côté. Mais, il ne faut pas oublier que ce n'est qu'une méthode comme une autre et qu'elle ne vous permettra pas forcément de faire sauter la banque.
Les joueurs cherchent sans cesse des moyens pour battre le casino même s'ils savent que les statistiques leur sont défavorables. Le principe des martingales est de prévoir une série de pertes ou de victoires, et en doublant ou en réduisant sa mise. En fait, le concept est basé entièrement sur la tendance d'un jeu sur la combinaison gagnante. La martingale est principalement utilisée à la roulette, car cette dernière repose sur le hasard pur et la probabilité est le meilleur moyen de la prévoir. La plupart des experts estiment qu'elle est efficace si on ne dépasse pas une certaine limite car la règle d'or dans les casinos est qu'on va forcément perdre, même si on a gagné des gains importants. Aussi, utilisez les martingales pour tester les différentes tables et n'hésitez pas à changer de jeu si vous dépassez le seuil qui devient favorable à la banque.

Les principales martingales et leurs variantes

La plus utilisée est sans doute la martingale classique ou géométrique. Elle consiste à doubler la mise à chaque fois qu'on perd. Cela semble illogique, mais elle convient parfaitement à la roulette qui est composée de couleurs, de paires et du zéro qui représente le nul. En théorie, la probabilité donne 50 % de chance au joueur, mais c'est loin d'être aussi simple. En effet, les pertes vont doubler au fur et à mesure et il devra mettre des mises toujours plus importantes pour espérer décrocher la cagnotte qui va le rembourser. De plus, il devra jouer le plus longtemps possible et cela implique qu'il devra mettre une grosse somme sur la table. Enfin, la règle des 50 % est faussée par le zéro car il permet au casino de devenir favorable à 75 %. Les joueurs l'utilisent s'ils ont une tendance positive car ils peuvent avoir le jackpot sur une courte période. Ensuite, nous avons la grande martingale qui reprend les mêmes principes, mais on ajoute une mise supplémentaire. Elle permet d'augmenter ses gains si on quitte la table au bon moment, mais elle donne également une fausse impression au joueur que ses pertes sont toujours amorties. Donc, c'est une méthode à double tranchant mais comme la technique classique, elle est performante sur la sensation du joueur. La martingale « Piquemouche » limite les pertes au maximum car on double uniquement les mises après trois séries de pertes. On estime qu'elle est la plus équilibrée, mais les gains sont équivalents si vous n'utilisez pas de martingale. On la conseille aux débutants qui veulent apprendre les principes de base et elle est également appréciée dans les casinos en ligne. La martingale d'Alembert est l'une des plus intéressantes, où il faut mettre un pari supplémentaire à chaque perte, mais le diminuer quand on gagne. Cette théorie fait appel à la métaphysique que si on diminue délibérément les mises, on augmente ses chances pour les séries suivantes. La contre Alembert propose le système inverse, c'est-à-dire qu'on augmente la mise quand on gagne et on la diminue progressivement quand on perd. En général, elle est inefficace à la roulette, mais on l'a testé avec succès dans les machines à sous. Les gros joueurs préfèrent le paroli qui consiste à remiser systématiquement les paris gagnants, ensuite, ils doivent prévoir une série et recommencer avec sa première mise. Elle existe en plusieurs niveaux selon qu'on s'arrête à 1, 4 ou 8 fois après avoir gagné. La martingale américaine est la plus complexe car elle nécessite une excellente mémoire. En effet, elle consiste en un cycle des premières et des dernières mises. Par exemple, le joueur augmente d'un niveau lorsqu'il gagne, mais il retient la même somme quand il perd. Tout le principe est basé sur les séries gagnantes et sur le fait de ne jamais dépasser ses anciennes mises. Enfin, nous terminons avec la variante hollandaise qui est utilisée par des joueurs qui ne cessent de perdre. Ils calculent tous leurs paris et ils choisissent la valeur la plus faible en l'ajoutant d'une unité. Même si les gains ne sont jamais importants, ils peuvent récupérer toutes leurs pertes avec un petit bonus. Cette technique est élégante dans les mathématiques, où on peut espérer que chaque perte sera suivie d'une victoire, mais une roulette peut sortir le même chiffre 20 fois de suite ce qui la rend inutilisable. Toutefois, elle est pertinente quand on constate qu'une table est régulière, même si on remarque une rupture dans les séries.

Les avantages et les inconvénients des martingales

On peut voir que toutes les techniques ont leurs inconvénients et le hasard en fait partie intégrante. On n'a pas besoin de connaître des formules complexes pour savoir que les jeux sont basés sur des tendances qu'elles soient positives ou négatives. Les martingales peuvent donner des indications sur ces dernières quoiqu'il n'existe pas de martingale magique. Certains pensent que le hasard peut devenir un atout pour le joueur ils se basent sur l'exemple de Williams Jagger qui avait gagné des millions en observant attentivement la tendance d'une table de roulette. Mais il avait étalé son analyse sur plusieurs semaines avant de remarquer un numéro qui sortait plus que d'autres. De plus, sa mise de départ était importante tel que dans la martingale classique, donc, on peut avoir de bons résultats en combinant plusieurs techniques. Étant donné que les martingales n'ont jamais démontré leur efficacité, certains en profitent pour vous vendre des martingales pour gagner à coup sûr. Ils vont les habiller d'appellation attirante telle que « Gold », « Ultimate Winner », « Méthode prouvée et testée », etc. Il est évident que ce sont des attrape-nigauds car ils ne vendraient pas des livres s'ils avaient décroché la cagnotte. En résumé, on peut dire que les martingales vous permettent d'avoir un certain contrôle sur le déroulement de la partie, l'observation et l'analyse vous donne assurément de l'expérience. Et cette dernière est la seule martingale nécessaire pour avoir une chance de battre le casino.

Martingales et montantes

Une martingale est une méthode de jeu, basée sur les probabilités, qui vise à vous permettre d'augmenter vos chances de gains aux jeux d'argent sur le long terme. Le terme "martingale" est issu des mathématiques, et plus particulièrement du calcul stochastique (l'étude des processus dynamiques aléatoires). Il a ensuite hérité d'un mythe dans les casinos, où certains joueurs prétendaient détenir une martingale secrète permettant d'être gagnant sur le long terme.
Les règles des jeux de casino ayant évoluées, il n'est plus possible d'y trouver une faille exploitable sur le long terme sans tricher ; il n'y a plus de martingale consistant juste en une manière de jouer. Les martingales présentées ici sont des méthodes de gestion de mise, elles consistent à faire varier la hauteur de la mise en fonction des séries de gain et de perte, et sont donc parfois appelées des "montantes".
Elles peuvent être utilisées pour n'importe quel jeu d'argent, à partir du moment où vous avez environ une chance sur 2 de doubler votre mise, par exemple pour la roulette, le black-jack ou encore les paris sportifs avec une côte autour de 2. Elles peuvent aussi s'adapter aux autres types de jeu avec quelques modifications.


Martingale (calcul stochastique)

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En calcul stochastique, une martingale désigne un type de processus stochastique, c'est-à-dire un processus aléatoire et dynamique. Ce type de processus X est tel que sa valeur espérée connaissant l'information disponible à une certaine date s, dénotée Fs, est la valeur à cette même date :
E(Xt | Fs) = Xs (Avec s \leq t )
X est un processus adapté à la filtration F.
On parlera de sous-martingale si E(X_t|F_s) \geq X_s et de sur-martingale si E(X_t|F_s) \leq X_s.

Sommaire

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Définitions[modifier]

Processus stochastique
Un processus stochastique est une famille de variables aléatoires, généralement indexée par \mathbb R^+ ou \mathbb N.

Filtration
Une filtration est une suite croissante de tribus (\mathcal{F}_n)_{n\ge 0}, c'est-à-dire \mathcal{F}_n \subset \mathcal{F}_{n+1} \ \ \forall n \in \mathbb N

Filtration naturelle
Soit (X_n)_{n \ge 0} une suite de variables aléatoires. On dit que (\mathcal{F}_n)_{n\ge 0} définie par \mathcal{F}_n = \sigma (X_1,\ldots ,X_n) \ \forall n \in \mathbb N est la filtration naturelle de la suite (X_n)_{n \ge 0}.

Processus adapté
On dit que le processus (X_n)_{n \ge 0} est adapté à la filtration (\mathcal{F}_n)_{n\ge 0} si Xn est \mathcal{F}_n-mesurable pour tout entier n.

Martingale dans \mathbb{N}
Soit (\mathcal{F}_n)_{n\ge 0} une filtration.
Soit (M_n)_{n \ge 0} une suite de variables aléatoires.
On dit que (M_n)_{n \ge 0} est une martingale par rapport à (\mathcal{F}_n)_{n\ge 0} si:

  1. (M_n)_{n \ge 0} est adaptée à la filtration (\mathcal{F}_n)_{n\ge 0}.
  1. M_n \, est intégrable pour tout entier n.
  1. E(M_{n+1} | \mathcal{F}_n ) = M_n.

Si (M_n)_{n \ge 0} respecte les deux premières conditions, et E(M_{n+1} | \mathcal{F}_n ) \ge M_n \ \forall n alors on l'appelle sous-martingale, et si E(M_{n+1} | \mathcal{F}_n ) \le M_n \ \forall n, alors on l'appelle sur-martingale.
On dit que (M_n)_{n \ge 0} est une \mathcal{F}_n-martingale.

Processus prévisible
Soit (\mathcal{F}_n)_{n\ge 0} une filtration.
Soit (Y_n)_{n \ge 0} une suite de variables aléatoires.
On dit que (Y_n)_{n \ge 0} est processus prévisible si Y_0 \, est \mathcal{F}_0-mesurable et Y_{n+1} \, est \mathcal{F}_n-mesurable pour tout entier n.

Historique du nom[modifier]

Donnons ici une histoire anti-chronologique de l'histoire du nom (et non du concept) de martingale.(issu de cette note1)
En Probabilité, la première apparition du mot martingale (et non du concept) se trouve dans la thèse2 de Jean Ville (en 1939), au chapitre IV, paragraphe 3 dans l'expression : "système de jeu ou martingale". Il précise que ce terme est emprunté du vocabulaire des joueurs. Notons que la dénomination anglaise (martingale) a été reprise de la française par Joseph Leo Doob, alors rapporteur de la thèse de Ville.
La martingale dans les jeux
Dans le langage des jeux, la première fois qu’apparaît le terme martingale est en 1611 dans le dictionnaire franco-anglais de Randle Cotgrave3. L'expression "à la martingale" est définie avec les termes : absurdly, foolishly, untowardly, grossely, rudely, in the homeliest manner (absurde, stupide, fâcheusement, grossièrement, brutalement, de manière laide). Dans le dictionnaire4 de l'Abbé Antoine François Prévost de 1750, est proposée une stratégie qui consiste pour le joueur à doubler sa mise à chaque perte "pour se retirer avec un gain sûr, supposé qu'il gagne une fois". On peut penser que cette stratégie peut être considérée comme absurde. Selon une expression provençale5, jouga a la martegalo signifie : jouer de manière incompréhensible, absurde. Notons que le terme martingale fait son apparition dans le dictionnaire de l'académie française en 1762.
La martingale est absurde?
Le terme martegalo se rapporte aux habitants de Martigues. La situation isolée de Martigues, au xvie siècle, "a valu à ses habitants une réputation de naïveté proverbiale" ; on leur attribue une certaine "badauderie", de la "naïveté" ainsi que "des propos goguenards"1.

Propriétés[modifier]

Propriété 1
Soit (M_n)_{n \ge 0} une martingale.
On a E(M_{n+1})=E(E(M_{n+1} | \mathcal{F}_n)) = E(M_n) = \ldots = E(M_0)
Autrement dit, la suite (E(M_n))_{n \ge 0} est constante.

Exemples de martingales[modifier]

exemple 1
Soit X \, une variable aléatoire intégrable et X_n := E(X |\mathcal{F}_n) .
Alors (X_n)_n \, est une \mathcal{F}_n-martingale.

exemple 2
Soit (X_k)_k \, une suite de variables aléatoires indépendantes et centrées.
La suite (S_n)_n \, définie par S_n := \sum_{k=1}^n X_k est une \mathcal{F}_n-martingale avec \mathcal{F}_n = \sigma (X_0,\ldots ,X_n).

exemple 3
Soit (Xn)n une \mathcal{F}_n-martingale, soit (Yn)n un processus borné prévisible par rapport à (\mathcal{F}_n)_n.
Alors (Z_n)_n \, définie par Z_n := Y_0 X_0 + \sum_{k=1}^n Y_k (X_k -X_{k-1}) est une \mathcal{F}_n-martingale.

Exemple de martingale à temps continu
On peut par exemple définir des martingales avec des mouvements browniens. Ceci a de nombreux liens avec l'intégration stochastique. On commence par définir la filtration comme étant la filtration naturelle d'un mouvement brownien standard (Bt)t. Alors le processus stochastique (M_t=B_t^2-t)_t est une martingale. Ceci donne par ailleurs la décomposition de Doob de la sous-martingale (B_t^2)_t

Les martingales et les temps d'arrêts[modifier]

Théorème 1
Soit (M_n)_n \, une \mathcal{F}_nmartingale et T \, un temps d'arrêt.
Alors (M_{n\wedge T})_n \, est une martingale (appelée "martingale arrêtée").

Corollaire
E(M_0) = E(M_{n\wedge T})



xemples des martingales

  • Supposez Xn est la fortune d'un joueur ensuite n jets en l'air d'une pièce de monnaie « juste », où le joueur gagne $1 si la pièce de monnaie monte des têtes et perd $1 si la pièce de monnaie monte des queues. La fortune prévue conditionnelle du joueur après la prochaine épreuve, donnée l'histoire, est égale à sa fortune actuelle, ainsi cet ordre est une martingale. Ceci est également connu As Système de D'Alembert.
  • Laissé Yn = Xn2 − n là où Xn est la fortune du joueur de l'exemple précédent. Puis l'ordre { Yn : n = 1, 2, 3,… } est une martingale. Ceci peut être employé pour prouver que tout le gain ou la perte du joueur change rudement entre le plus ou sans racine carrée du nombre d'étapes.
  • (de Moivre's la martingale) supposent maintenant qu'un « injuste » ou « a polarisé » la pièce de monnaie, avec la probabilité p des « têtes » et de la probabilité q = 1 − p des « queues ». Laissé
avec « + » en cas de « têtes » et de « − » en cas de « queues ». Laissé
Puis { Yn : n = 1, 2, 3,… } est une martingale en ce qui concerne { Xn : n = 1, 2, 3,… }.
  • Laissé Yn = P (A | X1, ..., Xn). Puis { Yn : n = 1, 2, 3,… } est une martingale en ce qui concerne { Xn : n = 1, 2, 3,… }.
  • (Polya urne) qu'une urne contient au commencement r rouge et b marbres bleus. Un est choisi aléatoirement. Alors il est remis dans l'urne avec un autre marbre de la même couleur. Laissé Xn soyez le nombre de marbres rouges dans l'urne ensuite n itérations de ce procédé, et laissez Yn = Xn/(n). Puis l'ordre { Yn : n = 1, 2, 3,… } est une martingale.
  • (essai de Probabilité-rapport dans statistiques) On pense la population d'A pour être distribué selon le l'un ou l'autre une densité de probabilité f ou une autre densité de probabilité g. A échantillon aléatoire est pris, les données étant X1, ..., Xn. Laissé Yn soyez la « probabilité - rapport »
(qui, dans les applications, serait employé comme statistique d'essai). Si la population est distribuée réellement selon la densité f plutôt que selon g, puis { Yn : n = 1, 2, 3,… } est une martingale en ce qui concerne { Xn : n = 1, 2, 3,… }.
  • Supposez que chaque amibe l'un ou l'autre coupe en deux amoebas, avec la probabilité p, ou par la suite matrices, avec le − de la probabilité 1 p. Laissé Xn soyez le nombre d'amoebas survivant dans ngénération de Th (en particulier Xn = 0 si la population est devenue éteinte à ce moment-là). Laissé r soyez probabilité de certain extinction. (Trouvant r comme fonction de p est un exercice instructif. Conseil : La probabilité que les descendants d'une amibe meurent par la suite dehors est égale à la probabilité que l'une ou l'autre de sa progéniture immédiate meurt dehors, étant donné que l'amibe originale s'est dédoublée.) alors
est une martingale en ce qui concerne { Xn: n = 1, 2, 3,… }.
  • Le nombre d'individus de toutes les espèces particulières dans un écosystème d'à taille fixe est une fonction de temps (discret), et peut être regardé comme ordre des variables aléatoires. Cet ordre est une martingale sous théorie neutre unifiée de biodiversité.
  • Si { Nt : t le ≥ 0} est a Processus de Poisson avec le λ d'intensité, puis le processus compensé de Poisson { Nt λ de −t : t le ≥ 0} est une martingale de continu-temps avec droit-continu/gauche-limite chemins témoin.

Martingales et temps d'arrêt

Voyez également : théorème de arrêt facultatif
A temps d'arrêt en ce qui concerne un ordre des variables aléatoires X1, X2, X3, ... est un τ de variable aléatoire avec la propriété qui pour chacunt, l'occurrence ou non-occurrence du τ d'événement = t dépend seulement des valeurs de X1, X2, X3, ..., Xt. L'intuition derrière la définition est celle à n'importe quel moment particulier t, vous pouvez regarder l'ordre jusqu'ici et dire s'il est temps de s'arrêter. Un exemple dans la force réelle soit le temps à l'où un joueur laisse la table de jeu, qui pourrait être une fonction de ses winnings précédents (par exemple, il pourrait partir seulement quand il est sans le sou), mais il ne peut pas choisir d'aller ou rester basé sur les résultats des jeux qui n'ont pas été joués encore.
Certains mathématiciens a défini le concept de temps d'arrêt en exigeant seulement cela l'occurrence ou non-occurrence du τ d'événement = tsoyez probabilistically indépendant de Xt + 1, Xt + 2, ... mais pas cela il soit complètement déterminé par l'histoire du processus jusqu'au temps t. C'est une condition plus faible que celle apparaissant dans le paragraphe ci-dessus, mais est assez forte pour servir dans certaines des preuves dans lesquelles des temps d'arrêt sont employés.
Le théorème de arrêt facultatif (ou le théorème facultatif de prélèvement) indique que, dans certaines conditions, la valeur prévue d'une martingale à un temps d'arrêt est égale à sa valeur initiale. Nous pouvons l'employer, par exemple, pour prouver l'impossibilité des stratégies de pari réussies pour un joueur avec une vie finie et une limite de maison sur des paris.

Submartingales et supermartingales

A (temps discret) submartingale est un ordre X1,X2,X3,... de intégrable variables aléatoires satisfaire
De façon analogue a (temps discret) supermartingale satisfait
Les définitions plus générales des martingales de temps discret et de continu-temps données plus tôt peuvent être converties en définitions correspondantes de sous-marin/de supermartingales de la même manière en remplaçant l'égalité pour l'espérance conditionnelle par une inégalité.
Voici une mnémonique pour se rappeler ce qui est quel : La « vie est un supermartingale ; pendant que le temps avance, l'espérance diminue. « 

Exemples des submartingales et des supermartingales

  • Chaque martingale est également un submartingale et un supermartingale. Réciproquement, tout processus stochastique qui est tous les deux un submartingale et un supermartingale est une martingale.
  • Considérez encore le joueur qui gagne $1 quand une pièce de monnaie monte des têtes et perd $1 quand la pièce de monnaie monte des queues. Supposez maintenant que la pièce de monnaie peut être décentrée, de sorte qu'elle monte des têtes avec la probabilité p.
    • Si p est égal à 1/2, le joueur en moyenne ni ne gagne ni perd l'argent, et le temps fini de la fortune du joueur est une martingale.
    • Si p est moins de 1/2, le joueur perd l'argent en moyenne, et le temps fini de la fortune du joueur est un supermartingale.
    • Si p est 1/2 plus grand que, le joueur gagne l'argent en moyenne, et le temps fini de la fortune du joueur est un submartingale.
  • A fonction convexe d'une martingale est un submartingale, près L'inégalité de Jensen. Par exemple, la place de la fortune du joueur dans le jeu juste de pièce de monnaie est un submartingale (qui suit également du fait cela Xn2 − n est une martingale). De même, a fonction concave d'une martingale est un supermartingale.

Une définition plus générale

On peut définir une martingale qui est une famille incomptable des variables aléatoires. En outre, ces variables aléatoires peuvent prendre des valeurs dans un espace plus général que juste les vrais nombres.
Laissé soyez a ensemble dirigé, soyez un vrai l'espace topologique de vecteur, et son topologique conjuguez (dénotez près cette dualité). D'ailleurs, laissez soyez filtré l'espace de probabilité, c'est un espace de probabilité équipé d'une famille de sigma-algèbres avec la propriété suivante : pour chacun avec , on a .
Une famille de variables aléatoires :
s'appelle une martingale si pour chacun et avec , les trois propriétés suivantes sont satisfaites :
Si l'ensemble dirigé est un vrai intervalle (ou axe de totalité le vrai, ou des semiaxis) alors qu'une martingale s'appelle une martingale continue de temps. Si est l'ensemble de nombres normaux que ce s'appelle une martingale de temps discret.




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Martingales

Définition On appelle espace filtré un quadruplet $ (\Omega,{\cal F},({\cal F}_n)_{n\in \mathbb{N}},P)$ avec $ (\Omega,{\cal F},P)$ triplet de probabilité, et$ ({\cal F}_n)_{n\in \mathbb{N}}$ une filtration, c'est à dire une suite croissantes de $ \sigma $-algèbres  incluses dans $ {\cal F}$.
On appelle processus adapté à un espace filtré une suite $ (X_n)_{n \in \mathbb{N}}$ de variables aléatoires à valeurs dans $ \mathbb{R}$ telles que

$\displaystyle \forall n\in \mathbb{N}X_n$    est $\displaystyle {\cal F}_n$-mesurable

On appelle processus prévisible (relativement à un espace filtré) une suite $ (X_n)_{n>0}$ de variables aléatoires à valeurs dans $ \mathbb{R}$ telles que pour tout $ n>0$ $ C_n$ est $ {\cal F}_{n-1}$-mesurable.
On appelle temps d'arrêt une application de $ \Omega$ dans $ \mathbb{N}$ telle que pour tout $ n$ $ \{{\omega}/ T({\omega}) \leq n \}$ appartient à $ {\cal F}_n$.
On appelle processus prévisible associé à un temps d'arrêt le processus prévisible $ C$ tel que $ C_n({\omega})$ est égal à $ 1$ si$ n \leq T({\omega})$ et égal à 0 sinon.
Etant donnés $ X$ un processus et $ T$ un temps d'arrêt, on note $ X^T$ le processus $ X$ stoppé à l'instant $ T$ défini par$ X^T_n({\omega})=X_{min(T({\omega}),n)}({\omega})$.
Etant donnés un processus prévisible $ C$ et une martingale $ X$, on note $ (C\bullet X)_n=\sum_{i=1}^n C_i (X_i-X_{i-1})$ pour$ n>1$.
Un processus $ C$ est dit borné si il existe $ K$ tel que pour tout $ n$ et tout $ {\omega}$, $ \vert C_n({\omega})\vert$ est majoré par $ K$.
Pour y voir plus clair En fait l'espace filtré représente les connaissance disponibles à l'instant $ n\in \mathbb{N}$, dans un espace à temps discret; c'est-à-dire qu'une fonction est $ {\cal F}_n$-mesurable à condition qu'elle puisse être connue à l'instant $ n$. Ensuite le fait qu'un processus soit adapté, signifie simplement que la valeur de $ X_n({\omega})$ est connue à l'instant $ n$. Un processus prévisible est en fait un processus déterminé à l'avance, ie le processus à l'instant $ n$ est connu dès l'instant $ n-1$. Un processus prévisible sera notamment usuellement une stratégie élaborée par un joueur, qui peut donc agir en fonction de ce qui a déjà eu lieu, la stratégie étant supposée déterministe. Un temps d'arrêt est en fait une façon de décider un instant, sachant que la décision d'un instant ne peut être faite qu'en fonction des évènements antérieurs.$ (C\bullet X)_n$ représente le total des gains à l'instant $ n$, $ C_n$ représentant la mise, et $ X_n-X_{n-1}$ le gain avant multiplication par la mise. Le processus prévisible associé à un temps d'arrêt est en fait une façon de jouer où l'on ne choisit pas la mise, mais pour laquelle on peut choisir le moment où le jeu s'arrête.
Application(s)... On verra un temps d'arrêt sympathique et un processus stoppé sympathiques en partie [*].
Définition Un processus adapté $ X$ est une martingale si pour tout $ n$ $ X_n$ est $ L^1$ ET si pour tout $ n$ l'espérance conditionnelle $ E(X_n \vert {\cal F}_{n-1})$ est égale à $ X^{n-1}$.
Un processus adapté $ X$ est une surmartingale si pour tout $ n$ $ X_n$ est $ L^1$ ET si pour tout $ n$ l'espérance conditionnelle $ E(X_n \vert {\cal F}_{n-1})$ est $ \leq$ à $ X^{n-1}$.
Un processus adapté $ X$ est une sous-martingale si pour tout $ n$ $ X_n$ est $ L^1$ ET si pour tout $ n$ l'espérance conditionnelle $ E(X_n \vert {\cal F}_{n-1})$ est $ \leq$ à $ X^{n-1}$.
Pour y voir plus clair On comprend bien ce que signifie le fait que $ X_n$ soit $ L^1$; la condition sur l'espérance conditionnelle, signifie, elle, simplement que la moyenne de $ X_n$, toutes les informations étant connues jusqu'à l'étape $ n-1$, est égale à $ X_{n-1}$. C'est à dire que si l'on fixe les $ n-1$ premières étapes, la $ n$-ième est centrée (a sa moyenne) sur l'étape $ n-1$.
Pour y voir plus clair En voyant $ X_n$ comme le gain à un jeu jusqu'à l'instant $ n$ inclus, une surmartingale est un jeu où en moyenne on perd, une sous-martingale un jeu où en moyenne on gagne.
Proposition Si $ X$ est une surmartingale, $ -X$ est une sous-martingale.
$ X$ est une surmartingale si et seulement si $ X$ est une surmartingale et une sous-martingale.


Exemple 2   On aura souvent comme filtration $ {\cal F}_n=\sigma (W_0,\dots,W_n)$ ($ \sigma $-algèbre engendrée par $ W_0,\dots,W_n$), et $ X_n=f_n(W_0,\dots,W_n)$ avec $ f_n$ mesurable de $ \mathbb{R}^n$ dans $ \mathbb{R}$ comme processus adapté.



Exemple 3   Soit $ (X_n)_{n \in \mathbb{N}}$ des variables aléatoires indépendantes $ L^1$ d'espérance nulle. On définit$ S_n=\sum_{i\in [0,n]} Y_i$. La filtration choisie est définie par : $ {\cal F}_n$ est la $ \sigma $-algèbre engendrée par $ (X_0,\dots,X_n)$. Alors $ S_n$ est une martingale.Avec $ X_i=\frac12 \partial _1 +\frac12 \partial _{-1}$, variable aléatoire à valeurs dans $ \{-1,1\}$ (équirépartie sur ces deux valeurs), on a unemarche aléatoire sur $ \mathbb{Z}$.
On peut aussi prendre des variables aléatoires $ X_i$ positives, d'espérance $ 1$, indépendantes, pour $ X$, et définir $ \Pi_n$le produit des $ X_i$ pour $ i\leq n$. La filtration se définit comme dans le cas ci-dessus.

Théorème [On peut pas gagner si on a un porte-monnaie fini] $ \bullet\ $Si $ C$ est un processus prévisible et borné et positifet si $ X$ est une surmartingale, une sous-martingale, une martingale (respectivement), alors $ (C\bullet X)$ est une surmartingale, une sous-martingale, une martingale.
$ \bullet\ $Si $ C$ est un processus prévisible et borné et $ X$ une martingale, alors $ C\bullet X$ est une martingale.
Démonstration: En utilisant les propriétés de l'espérance conditionnelle,

$\displaystyle E((C\bullet X)_n - (C\bullet X)_{n-1}\vert {\cal F}_{n-1}=C_n E(X_n-X_{n-1}\vert {\cal F}_{n-1})=$


$\displaystyle C_n(E(X_n \vert {\cal F}_{n-1} ) - E(X_{n-1} \vert {\cal F}_{n-1}))=C_n(E(X_n \vert {\cal F}_{n-1} ) - X_{n-1},$

d'où les résultats en appliquant les définitions des martingales, des surmartingales,d es sousmartingales.$ \sqcap$$ \sqcup$Corollaire Si $ X$ est une surmartingale, et $ T$ un temps d'arrêt, alors le processus stoppé $ X^T$ est une surmartingale et $ E(X_{T^n})\leq E(X_0)$. Si $ X$ est une martingale, et $ T$ un temps d'arrêt, alors le processus stoppé $ X^T$ est une martingale et $ E(X_{T^n})=E(X_0)$.

Le résultat suivant provient de [21]:
Théorème [Théorème d'arrêt éventuel de Doob] Soit $ T$ un temps d'arrêt et $ X$ une surmartingale, alors si l'une des conditions suivantes est vérifiée: $ \bullet\ $ $ \exists N / \forall {\omega}T({\omega}) < N$
$ \bullet\ $ $ \exists K / \forall ({\omega},n) \vert X_n({\omega})\vert<K$ et pour presque tout $ {\omega}$ $ T$ est fini.
$ \bullet\ $ $ E(T)<\infty$ et $ \exists K / \forall (n,{\omega}) \vert X_n({\omega})-X_{n-1}({\omega})\vert \leq K$
on peut conclure que $ E(X_T)\leq E(X_0)$
Démonstration: Application facile des résultats ci-dessus, en utilisant la convergence dominée de Lebesgue [*] dans le troisième cas. $ \sqcap$$ \sqcup$

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    Les martingales n’existent pas

    Pourquoi se préoccuper d’intégrer des fonctions irrégulières si ce n’est par le masochisme pur qui caractérise certains mathématiciens  ? Imaginons un jeu de hasard où vous avez autant de chances de gagner que de perdre à chaque coup : par exemple, un jeu de pile/face ou parier sur pair/impair à la roulette, etc. Si vous gagnez, vous récupérez deux fois votre mise, si vous perdez, vous perdez votre mise. Vous allez le choix de votre mise à chaque coup. Pour simplifier les choses, vous disposez d’une fortune sans limite ainsi que votre adversaire.
    Encore une fois, on peut représenter votre gain par un dessin basé sur des rectangles  : les rectangles vont vers le haut si vous gagnez, vers le bas si vous perdez. Les aires correspondantes ont donc un signe  : positif en cas de gain, négatif en cas de perte. Votre gain total est la somme de ces aires « signées » [2].
    Une martingale au sens commun et pas au sens mathématique, est une stratégie, donc un choix des mises, qui doit vous permettre d’avoir un gain positif en jouant suffisamment longtemps. Depuis le temps que ce problème et d’autres similaires ont été étudiés, on sait qu’il est intéressant de considérer non pas la suite des +1 ou -1 qui traduisent un gain ou une perte à chaque coup mais qu’il est plus intéressant de considérer le cumul des gains et des pertes  : pour une suite de gains/pertes comme
    +1, +1, -1, +1, +1, -1, -1, -1,... on préfère regarder la suite 1, 2, 1, 2, 3, 2, 1, 0, ...
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    Au bout de 10 pas.
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    Au bout de 100 pas.
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    Au bout de 10000 pas.
    Quand le nombre de coups augmente, cette suite donne une courbe de plus en plus irrégulière. Au point que si l’on va jusqu’au bout, c’est-à-dire pour un nombre infini de coups, on obtient une courbe qui n’est plus dessinable de manière lisse (il devient impossible de construire une tangente). Précisément, on obtient un objet bien connu des probabilistes qui s’appelle un mouvement brownien (voir par exemple Le mouvement brownien et son histoire, réponses à quelques questions).
    Supposons maintenant qu’à chaque coup, vous puissiez miser une quantité de votre choix. Si vous gagnez ce coup, vous récupérez deux fois votre mise, sinon vous perdez votre mise. Conclusion, votre richesse au terme de 4 coups avec le tirage ci-dessus, s’exprime par

    Richesse4=Richesse0+Mise1(+1)+Mise2(+1)+Mise3(−1)+ Mise4(+1).

    Dans le cas général, votre richesse s’exprime comme l’intégrale des mises par rapport aux variations des gains. Quand cette variation des gains est assimilée à un mouvement brownien, cette notion d’intégrale est techniquement plus compliquée à définir que la précédente. Néanmoins, depuis Young (1936) puis Itô dans les années 50, on sait donner un sens à cette intégrale. Et le résultat est sans appel, quelle que soit votre stratégie, votre gain moyen est nul !

    Martingales

    Les théorèmes de martingales seront souvent utilisés dans ce cours pour établir la convergence de certaines fonctionnelles d'une chaîne de Markov. On se référera principalement aux résultats suivants:
    Proposition 1.2.1   Soit $ (\Omega,{\cal F}_n,\hbox{$\mathbb{P}$})$ un espace filtré et $ {\cal F}_\infty=\bigvee{\cal F}_n$ la tribu engendrée par l'algèbre $ \cup_n\hbox{${\cal F}_{n}$} $.
    1. Soit $ X_n$ une surmartingale positive (pouvant prendre la valeur $ +\infty$). Elle converge presque sûrement vers une variable aléatoire $ X_\infty$. Si de plus il existe $ n_0$tel que $ X_{n_0}$ soit intégrable il en est de même de $ X_\infty$.
    2. Soit $ X_n$ une martingale bornée dans $ L^1$. Elle converge presque sûrement vers une variable aléatoire $ X_\infty$ (intégrable). L'on n'a pas nécessairement convergence dans $ L^1$, cette propriété étant équivalente à l'équi-intégrabilité de la suite $ X_n$. Dans ce dernier cas on a $ X_n=\hbox{$\mathbb{E}$}(X_\infty\vert{\cal F}_n)$ et pour tout temps d'arrêt $ T$ (fini ou non) $ X_T=\hbox{$\mathbb{E}$}(X_\infty\vert{\cal F}_T)$
    3. Si $ X_n$ est une martingale du type $ X_n=\hbox{$\mathbb{E}$}(Y\vert{\cal F}_n)$ avec $ Y$ intégrable ou positive (non nécessairement finie) alors $ X_\infty=\hbox{$\mathbb{E}$}(Y\vert{\cal F}_\infty)$.
    {\warni Z}. $ \bullet$ On peut d'ores et déjà remarquer que cette proposition ne sera que de peu de secours pour le cas le plus courant de martingale (et de chaîne de Markov!) de la forme $ X_n=Y_1+Y_2+\ldots+Y_n$ où les variables aléatoires $ Y_n$ sont i.i.d. et d'espérance nulle. En effet, une telle martingale n'est pas en général bornée dans $ L^1$ car sinon la convergence presque sûre de $ X_n$ entraînerait la convergence presque sûre (et donc en loi !) de $ Y_n$ vers 0 ce qui n'est possible que si les variables aléatoires $ Y_n$ sont presque sûrement nulles!
    $ \bullet$ Soit $ X_n$ une martingale bornée dans $ L^1$. En général on ne pas affirmer que pour un temps d'arrêt fini $ T$ on ait $ X_T$ intégrable et encore moins que $ X_T$ soit l'espérance conditionnelle de $ X_\infty$ quand $ {\cal F}_T$. Néanmoins on a le résultat suivant:
    Proposition 1.2.2   Soit $ X_n$ une martingale de type $ X_n=Y_1+Y_2+\ldots+Y_n$ où les variables aléatoires $ Y_n$ sont i.i.d., intégrables et d'espérance nulle. Alors pour tout temps d'arrêt $ T$ intégrable on a:
    • La variable aléatoire $ X_T$ est intégrable et $ X_{n\wedge T}=\hbox{$\mathbb{E}$}(X_T\vert{\cal F}_n)$.
    • La suite $ X_{n\wedge T}$ converge donc vers $ X_T$ dans $ L^1$.
    Une conséquence importante de ce résultat est la suivante: Si $ Y_n$ est une suite i.i.d. intégrable et $ T$ un temps d'arrêt intégrable alors $ \hbox{$\mathbb{E}$}(X_T)=\hbox{$\mathbb{E}$}(Y)\hbox{$\mathbb{E}$}(T)$ (Lemme de Wald).
    On utilisera aussi la théorie des martingales de carré intégrable et les propriétés de la décomposition de Doob:
    Proposition 1.2.3   Soit $ X_n$ une martingale de carré intégrable. On peut écrire $ X_n^2=M_n+A_n$ où $ M_n$ est une martingale intégrable et $ A_n$ un processus croissant prévisible défini par:
    $\displaystyle A_0=0\hbox{,\ \ et\ \ } A_{n+1}-A_n=\hbox{$\mathbb{E}$}\left((X_{n+1}-X_n)^2\vert{\cal F}_n \right)$
    On a alors le résultat de convergence suivant:
    1. Si $ \hbox{$\mathbb{E}$}(A_\infty)<\infty$ (ou de façon équivalente, si la suite $ X_n$ bornée dans $ L^2$) la suite $ X_n$ converge p.s. et dans $ L^2$.
    2. Sur $ \{A_\infty<\infty\}$ la suite $ X_n$ converge p.s. vers une variable aléatoire finie.
    3. Sur $ \{A_\infty=\infty\}$ la suite $ \frac{\displaystyle X_n}{\displaystyle A_n}$ converge p.s. vers 0.
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