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On considère une suite de lancers de pièces bien équilibrées.
| Intro | Le joueur J gagne si la séquence (Pile, Pile,
Face) apparaît en premier. Le joueur J' gagne si la séquence (Face, Pile, Pile) apparaît en premier. La varaiable aléatoire Y désigne le rang du lancer où pour la première fois apparaît la séquence (Pile, Pile, Face). La varaiable aléatoire Y' désigne le rang du lancer où pour la première fois apparaît la séquence (Face, Pile, Pile). Le paradoxe tient à ce que le joueur J' a davantage de chance de gagner que le joueur J (en dessous) alors que les temps d'attente des configurations (Pile, Pile, Face) et (Face, Pile, Pile) suivent la même loi (étude des variables aléatoires Y et Y') |
On considère Dn l'évènement au cours de n lancers, aucune suite de deux Pile consécutifs n'apparaît.
Pour de petites valeurs de n, on a que J' gagne plus souvent que J et évidemment, la probabilité de Dn diminue quand n grandit.
| premier lancer | Face | Face | Face | Face | Face | Face | Face | Face | Pile | Pile | Pile | Pile | Pile | Pile | Pile | Pile |
| deuxième lancer | Face | Face | Face | Face | Pile | Pile | Pile | Pile | Face | Face | Face | Face | Pile | Pile | Pile | Pile |
| troisième lancer | Face | Face | Pile | Pile | Face | Face | Pile | Pile | Face | Face | Pile | Pile | Face | Face | Pile | Pile |
| quatrième lancer | Face | Pile | Face | Pile | Face | Pile | Face | Pile | Face | Pile | Face | Pile | Face | Pile | Face | Pile |
| évènement réalisé | D2 D3 D4 |
D2 D3 D4 |
D2 D3 D4 |
D2 D3 |
D2 D3 D4 |
D2 D3 D4 |
D2 | D2 | D2 D3 D4 |
D2 D3 D4 |
D2 D3 D4 |
D2 D3 |
||||
| Joueur gagnant en 3 lancers | J' | J' | J | J | ||||||||||||
| Joueur gagnant en 4 lancers | J' | J' | J' | J' | J | J | J |
Pour que J se mette à gagner au lancer n+1, il faut que Dn ne soit pas réalisé et que le lancer n soit pile et le lancer n+1 soit face.
Si Dn n'est pas réalisé, c'est qu'il est est apparu deux piles au cours des n premiers lancers, si J' n'a pas encore gagné, c'est qu'il n'est apparu que des piles.
Une succession de piles en n lancers (aucune face ne tombe) a une probabilité de (1/2)exp n.
La probabilité de gagner pour le joueur J est donc (puisqu'il faut au moins 3 piles) de 1/8+1/16+1/32+...1/(2 exp n) = 1/4.
Pour que J' se mette à gagner au lancer n+1, il faut que Dn soit réalisé et que les lancers n et n+1 soient des piles.
Du moment qu'un face est tombé et que J n'a pas gagné, J' garde une chance de gagner tandis que J n'en a plus aucune.
Pour de grandes valeurs de n, lorsque n tend vers l'infini.
On voit que Dn diminue, cependant cela ne veut pas dire que la probabilité de Dn tende vers 0 lorsque n tend vers plus l'infini.
Sachant que l'évènement D(n+1) a eu lieu, l'évenement D(n+2) a lieu
- si le lancer (n+1) était pile et le lancer (n+2) est aussi pile ou bien
- si le lancer (n+1) était face
Ces deux évéments (le lancer n est face et le lancer pile est face) étant incompatibles, on a :
P (D(n+2) / D(n+1) ) = (1/2) x P (le lancer n+1 est pile / D(n+1)) + P (le lancer n+1 est face / D(n+1)) (E)
le (1/2) correspond au (n+2) lancer, indépendant des (n+1) premiers lancers.
En utilisant la formule (ou la définition...) des probabilités conditionnelles P(A/B)=(P(A et B) / P (B),
P (D(n+2) / D(n+1) ) = P (Dn+2 et Dn+1) / P (Dn+1)
Si D(n+2) est réalisé, alors D(n+1) était aussi réalisé donc P (Dn+2 et Dn+1) = P (Dn+2) et
P (D(n+2) / D(n+1) ) = P (Dn+2 ) / P (Dn+1)
En utilisant la formule des probabilités conditionnelles dans l'autre membre de (E), on a :
P (Dn+2 ) / P (Dn+1) = (1/2) x P (le lancer n+1 est pile et D(n+1)) / P(Dn+1) + P (le lancer n+1 est face et D(n+1)) / P(Dn+1), en simplifiant :
P (Dn+2 ) = (1/2) x P (le lancer n+1 est pile et D(n+1)) + P (le lancer n+1 est face et D(n+1)) (E)
Si le lancer n+1 est face et D(n+1), c'est que le lancer n+1 est face et que Dn est réalisé (le lancer n peut-être pile ou face), autrement dit :
P (le lancer n+1 est face et D(n+1)) = P (le lancer n+1 est face et Dn ) = (1/2) x P(Dn)
Pile et face étant toujours incompatibles, on a D(n+v)= (le lancer n+1 est pile et D(n+1)) ou (le lancer n+1 est face et D(n+1)) avec ce qui précède :
P (D(n+1))= P (le lancer n+1 est pile et D(n+1)) + (1/2) x P(Dn), c'est à dire P (le lancer n+1 est pile et P (D(n+1)) = P (D(n+1)) - (1/2) x P(Dn)
(E) se résume donc à P (Dn+2 ) = (1/2) x (P (D(n+1)) - (1/2) x P(Dn)) + (1/2) x P(Dn), on a donc :
P (Dn+2 ) = (1/2) x (P (D(n+1)) + (1/4) x P(Dn)
Par récurrence, on peut montrer que P(Dn) est inférieur à 2 x (6/7) exp n, ce qui montre que la probabilité de Dn tend vers 0.
On effectuant n lancers, on aboutit à l'une des situations suivantes :
(1) Il n'y a que des piles
(2) J gagne
(3) Il y a des piles et des faces sans deux Pile consécutifs
(4) J' gagne
Si un joueur a gagné au bout de (n+1) lancers, c'est soit qu'il a gagné au lancer (n+1) soit qu'il a gagné au cours des n premiers lancers,
autrement dit pour un joueur, Pn+1 = Pn + probabilité de gagner au lancer n+1
La probabilité qu'un joueur ait gagné au bout de n lancers est égale à la somme pour k allant de 3 à n des probabilités d'avoir gagné exactement au lancer k.
| premier lancer | Face | Face | Face | Face | Face | Face | Face | Face | Pile | Pile | Pile | Pile | Pile | Pile | Pile | Pile |
| deuxième lancer | Face | Face | Face | Face | Pile | Pile | Pile | Pile | Face | Face | Face | Face | Pile | Pile | Pile | Pile |
| troisième lancer | Face | Face | Pile | Pile | Face | Face | Pile | Pile | Face | Face | Pile | Pile | Face | Face | Pile | Pile |
| quatrième lancer | Face | Pile | Face | Pile | Face | Pile | Face | Pile | Face | Pile | Face | Pile | Face | Pile | Face | Pile |
| évènement réalisé | D2 D3 D4 |
D2 D3 D4 |
D2 D3 D4 |
D2 D3 |
D2 D3 D4 |
D2 D3 D4 |
D2 | D2 | D2 D3 D4 |
D2 D3 D4 |
D2 D3 D4 |
D2 D3 |
||||
| Joueur gagnant en 3 lancers | J' | J' | J | J | ||||||||||||
| Joueur gagnant en 4 lancers | J' | J' | J' | J' | J | J | J |
Quand n tend vers l'infini, la probabilité de de (2) tend vers 1/4 et la probabilité de (1) tend vers 0.
Lorsque les lancers ne commencent pas par deux piles (ce qui arrive avec la probabilité 3/4), on ne peut avoir que les situations (3) ou (4).
Au bout de n lancers, on a soit Dn soit J a gagné au bout de k lancer avec k entre 3 et n.
En notant Pk (J') la probabilité que le joueur J' ne gagne qu'au lancer n, on a :
P3(J') + P4(J') + ... Pn(J') + P(Dn)=3/4, De même P3(J') + P4(J') + ... Pn+1(J') + P(Dn+1)=3/4, d'où
Pn+1(J') = P(Dn) - P(Dn+1)
La probabilité que le joueur gagne avant le lancer n+1 est donc la somme des Pk(J') pour k allant de 3 à n, P(D2) - P(Dn+1),
Comme P(D2)=3/4 et que P(Dn) tend vers 0, on a la probabilité que le joueur J' gagne tend vers 3/4.
Le jeu est clairement inéquitable.
On considère une suite de lancers de pièces bien équilibrées.
| Intro | Le joueur J gagne si la séquence (Pile, Pile,
Face) apparaît en premier. Le joueur J' gagne si la séquence (Face, Pile, Pile) apparaît en premier. La varaiable aléatoire Y désigne le rang du lancer où pour la première fois apparaît la séquence (Pile, Pile, Face). La varaiable aléatoire Y' désigne le rang du lancer où pour la première fois apparaît la séquence (Face, Pile, Pile). Le paradoxe tient à ce que le joueur J' a davantage de chance de gagner que le joueur J (le jeu) alors que les temps d'attente des configurations (Pile, Pile, Face) et (Face, Pile, Pile) suivent la même loi (étude des variables aléatoires Y et Y' ci-dessous) |
Si la configuration (Pile, Pile, Face) n'apparaît pas, on note Y=0. de même Y'=0 si (Face, Pile, Pile) n'apparaît pas.
| valeur de Y' | ||||||||||||
| Pile | Pile | Pile | Face | Face | Pile | Face | Pile | Face | Face | |||
| Face | Pile | Face | Pile | Pile | Face | Pile | Face | Face | Pile | |||
| Pile | Face | Pile | Face | Pile | Face | Pile | Pile | Pile | Face |
Pour de petites valeurs de n, on peut comparer avec le jeu de pile ou face, la différence vient qu'on peut avoir Y'=3 et Y=4
| premier lancer | Face | Face | Face | Face | Face | Face | Face | Face | Pile | Pile | Pile | Pile | Pile | Pile | Pile | Pile |
| deuxième lancer | Face | Face | Face | Face | Pile | Pile | Pile | Pile | Face | Face | Face | Face | Pile | Pile | Pile | Pile |
| troisième lancer | Face | Face | Pile | Pile | Face | Face | Pile | Pile | Face | Face | Pile | Pile | Face | Face | Pile | Pile |
| quatrième lancer | Face | Pile | Face | Pile | Face | Pile | Face | Pile | Face | Pile | Face | Pile | Face | Pile | Face | Pile |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | |||||||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
On appelle B'n l'événement correspondant à la configuration (Face, Pile, Pile).
On note Un la probabilité d'avoir B3 ou B4 ou .. ou Bn et U'n la probabilité d'avoir B'3 ou B'4 ou .. ou B'n.
On a P (Y≤n) = Un, de même pour les primes.
U3=U'3= 1/8 et U4=U'4=1/4
U5 est la probabilité d'avoir B3 ou B4 ou B5. Ces événements sont disjoints deux à deux :
| lancer | |||||
| B3 | |||||
| B4 | |||||
| B5 |
Donc U5= P(B3) + P(B4) = P(B5) = 1/8 + 1/8 + 1/8, U5=U'5=3/8
Pour les grandes valeurs de n, on cherche à exprimer Un+1 en fonction de Un, Un-1, Un-2...
Un+1 = P (Y≤n+1)= P(Y=n+1 ou Y≤n), ces deux événements Y=n+1 et Y≤n étant disjoints, on a
Un+1 = P(Y=n+1) + P(Y≤n) = P(Y=n+1) + Un (E)
Y=n+1 si la configuration (Pile, Pile, Face) vient d'apparaître, c'est à dire Bn+1 et si c'est la première fois c'est à dire Y>n
P (Y=n+1) = P (Bn+1 et Y>n)
Les événements Bn+1 et Y>n ne sont pas indépendants, en effet Bn+1 n'est pas indépendant de Bn, puisqu'il est impossible d'avoir Bn et Bn+1
| lancer | |||||
| Bn-1 | |||||
| Bn | |||||
| Bn+1 |
Si on a Bn+1, on ne peut pas ni Bn ni B-1, il est impossible d'avoir Y=n ou Y=n-1, par contre on peut avoir Y=n+1 ou Y=k pour 3≤k≤n-2
Autrement dit, Bn+1 est la somme des éléments disjoints (Bn+1 et Y=n+1) et (Bn+1 et Y≤n-2)
P(Bn+1)= P(Bn+1 et Y=n+1) + P(Bn+1 et Y≤n-2)
Les événements Bn+1 et Y≤n-2 sont indépendants, P(Bn+1)= P(Bn+1 et Y=n+1) + P(Bn+1) x P(Y≤n-2), ce qui donne
1/8=P(Bn+1 et Y=n+1) + (1/8) x Un-2, P(Bn+1 et Y=n+1)=(1/8) x (1-Un-2), en remplaçant dans (E), on a
Un+1=Un + (1/8) x (1-Un-2) Il en est de même pour les primes, comme U3=U'3 et U5=U'5, on a U6=U'6, comme U4=U'4 et U6=U'6, on a U7=U'7.
Par récurrence, on a donc pour tout n : Un=U'n
Comme P(Y=n) = P(Y≤n) - P(Y≤n-1)=Un - Un-1= (1/8) x (1-Un-2), on a
Pour tout n, P(Y=n) = P(Y'=n), ce qui sigifie que les varaiable aléatoires Y et Y' suivent la même loi.
Les suites de cinq lancers qui contiennent (Pile, Pile, Face) ou (Face, Pile, Pile)
| premier | Face | Face | Face | Face | Face | Face | Face | Pile | Pile | Pile | Pile | Pile | Pile | Pile |
| deuxième | Face | Face | Face | Pile | Pile | Pile | Pile | Face | Face | Face | Pile | Pile | Pile | Pile |
| troisième | Face | Pile | Pile | Face | Pile | Pile | Pile | Face | Pile | Pile | Face | Face | Pile | Pile |
| quatrième | Pile | Pile | Pile | Pile | Face | Pile | Pile | Pile | Pile | Pile | Pile | Face | Pile | |
| cinquième | Pile | Face | Pile | Pile | Pile | Face | Pile | Face | Pile | Pile | Face | |||
| 4,4 | 0 | 5 | 0 | 5 | 0 | 3,3,3 | 3 | 4,4 | 5 | |||||
| 3,3 | 3 | 3 | 5 | 4 | 4 | 0,0,0 | 5 | 0,0 | 0 |
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