APPLICATIONS DE LA LOI ARCSINUS EN PROBABILITE

1. Définition du problème

• On lance une pièce équilibrée 100 fois (pile ou face).

• On s'intéresse au premier moment où le nombre de piles est égal au nombre de faces (c’est-à-dire l’égalité parfaite).

• On veut connaître la probabilité qu’une telle égalité se produise au moins une fois dans les premiers n coups (par exemple, n=10, 20, 25, 30, 40).

• On cherche aussi le nombre minimal de coups nécessaires pour avoir au moins 50% de chances d'observer cette égalité au moins une fois.

2. Modélisation mathématique

Le problème revient à étudier la première fois où la somme partielle de variables aléatoires symétriques (±1) s'annule.

• Soit $S_k=X_1+X_2+\cdots +X_k$ où $X_i=+1$ (pile) ou $-1$ (face) avec probabilité 1/2.

• L'égalité entre nombre de piles et de faces au coup $k$ signifie $S_k=0$.

• On cherche la probabilité que $S_k=0$ pour au moins un $k\le n$.

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3. Probabilité qu'il y ait au moins une égalité dans les $n$ premiers coups

Résultat clé :

La probabilité qu'il y n'ait jamais d'égalité (sauf au départ $k=0$) dans les $n$ premiers coups est donnée par la formule classique liée aux marches aléatoires :

$$P(\text{pas d’}\acute{\text{e}}\text{galit}\acute{\text{e}}\text{ dans les }n\text{ premiers coups})=\frac{\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{\lfloor n\mathrm{/}2\rfloor }\right)}{2^n}$$

Cette quantité est la probabilité que la marche ne revienne jamais à zéro (sauf au départ).

• Donc :

$$P(\text{au moins une }\acute{\text{e}}\text{galit}\acute{\text{e}}\text{ dans }n\text{ coups})=1-\frac{\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{\lfloor n\mathrm{/}2\rfloor }\right)}{2^n}$$

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4. Calculs numériques

On calcule pour différents $n$ :

$n$	$\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{n\mathrm{/}2}\right)$ (approx.)	$\frac{\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{n\mathrm{/}2}\right)}{2^n}$	$P(\text{au moins 1 }\acute{\text{e}}\text{galit}\acute{\text{e}})$
10	252	$252\mathrm{/}1024\approx 0.246$	$1-0.246=0.754$ (75.4%)
20	184,756	$184,756\mathrm{/}1,048,576\approx 0.176$	$1-0.176=0.824$ (82.4%)
24	2,704,156	$2,704,156\mathrm{/}16,777,216\approx 0.161$	$1-0.161=0.839$ (83.9%)
25	3,268,760	$3,268,760\mathrm{/}33,554,432\approx 0.097$	$1-0.097=0.903$ (90.3%)
26	10,400,600	$10,400,600\mathrm{/}67,108,864\approx 0.155$	$1-0.155=0.845$ (84.5%)
30	155,117,520	$155,117,520\mathrm{/}1,073,741,824\approx 0.144$	$1-0.144=0.856$ (85.6%)
40	137,846,528,820	$137,846,528,820\mathrm{/}1.0995\times {10}^{12}\approx 0.125$	$1-0.125=0.875$ (87.5%)

5. Interprétation

• À 10 coups, il y a déjà 75% de chances d'avoir vu une égalité au moins une fois.

• À 20 coups, c'est environ 82%.

• À 24 coups, environ 84%.

• À 25 coups, environ 90%.

• À 26 coups, environ 84% (ici la valeur diminue car $n$ impair vs pair).

• À 30 coups, environ 85%.

• À 40 coups, environ 87%.

Cela montre que la probabilité d'avoir au moins une égalité dans les premiers coups est très élevée dès 10 coups.

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6. Pour avoir 50% de chances d'avoir une égalité

On cherche $n$ tel que :

$$1-\frac{\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{\lfloor n\mathrm{/}2\rfloor }\right)}{2^n}=0.5$$

Autrement dit,

$$\frac{\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{\lfloor n\mathrm{/}2\rfloor }\right)}{2^n}=0.5$$

Or, pour $n=2$, la probabilité est $\frac{2}{4}=0.5$, donc dès 2 coups, on a 50% de chances d'égalité (en fait, au coup 2, la seule égalité possible est 1 pile et 1 face).

Mais si on cherche le premier retour à l'équilibre après le départ, la question est différente.

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7. Première égalité après le départ (premier retour à zéro)

La probabilité que la première égalité (premier retour à zéro) se produise au coup $2k$ est donnée par la formule :

$$P(T=2k)=\frac{1}{2k-1}\left(\genfrac{}{}{0px}{}{2k}{k}\right)2^{-2k}$$

où $T$ est le temps du premier retour à zéro.

La probabilité que le premier retour à zéro se produise avant $2n$ est :

$$P(T\le 2n)=\sum _{k=1}^n\frac{1}{2k-1}\left(\genfrac{}{}{0px}{}{2k}{k}\right)2^{-2k}$$

On peut calculer cette somme pour trouver le $n$ tel que $P(T\le 2n)=0.5$.

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8. Calculs approximatifs du premier retour à zéro

$2n$ (nombre de coups)	$P(T\le 2n)$ approximatif
2	0.5
4	0.75
6	0.875
8	0.9375
10	0.96875

Donc, la probabilité que la première égalité se produise dans les 2 premiers coups est déjà 50%.

 La concentration des équilibres aux débuts ou fins d’une marche aléatoire, selon la loi d’arcsinus, influence la prévision du comportement futur d’un système aléatoire en soulignant que :

• Les phases d’équilibre sont plus probables au tout début ou vers la fin, ce qui signifie qu’une fois qu’un déséquilibre s’installe, il a tendance à persister longtemps avant un retour à l’égalité. Cela oriente la prévision vers une attente de stabilité prolongée d’un état dominant plutôt que de fluctuations fréquentes au milieu.

• Cette concentration révèle une "persistence" temporelle, donc pour prévoir, il faut prendre en compte que les changements d’état (équilibres) ne sont pas uniformément répartis, mais plutôt regroupés aux extrémités du processus.

• En pratique, cela invite à focaliser l’attention et les ressources de décision sur les débuts et fins des phases observées, car ce sont les moments où les transitions sont les plus probables, ce qui est cohérent avec les mécanismes cognitifs de concentration et d’attention qui privilégient un focus clair et volontaire sur des instants clés.

• Cela limite la prévisibilité au milieu du processus, où les équilibres sont rares, renforçant l’idée que le système peut rester dans un état dominant sans retour fréquent à l’équilibre, ce qui est important pour la gestion des risques ou la planification stratégique.

En résumé, la concentration des équilibres aux extrémités aide à mieux cibler la prévision sur les moments critiques (début et fin), tout en reconnaissant la persistance et la stabilité des états intermédiaires dans un système aléatoire.

La concentration des équilibres aux débuts ou fins d’une marche aléatoire peut à la fois renforcer et affaiblir votre confiance dans vos prévisions, pour ces raisons :

• Renforcement de la confiance :
  Comme la loi d’arcsinus montre que les équilibres sont plus probables aux extrémités, vous pouvez anticiper avec plus de certitude que les changements importants (retours à égalité) auront lieu tôt ou tard dans le processus. Cette prévisibilité partielle sur les moments clés renforce la confiance dans la planification autour de ces phases critiques.

• • Affaiblissement de la confiance :
    En revanche, la persistance d’un état dominant pendant la majeure partie du temps (peu d’équilibres au milieu) rend difficile de prévoir précisément quand un changement interviendra. Cette incertitude sur la durée de ces phases prolongées peut diminuer la confiance dans des prévisions fines à moyen terme.

  • Impact sur l’attention et la concentration :
    La difficulté à anticiper les transitions au milieu peut entraîner une baisse de concentration ou une focalisation excessive sur les débuts et fins, ce qui peut biaiser la perception et la prise de décision12. Une bonne gestion de son attention, avec des objectifs clairs et une organisation adaptée, est alors essentielle pour maintenir une confiance équilibrée.

  • Facteurs émotionnels :
    Les pensées négatives ou le doute générés par l’incertitude peuvent aussi miner la confiance, tandis qu’un discours interne positif et un contrôle de ses émotions favorisent une meilleure mobilisation cognitive et une confiance accrue15.

  En résumé, la concentration des équilibres aux extrémités du processus offre une base pour anticiper certains moments clés, ce qui peut renforcer la confiance, mais la persistance des déséquilibres au milieu crée une incertitude qui peut l’affaiblir. Une bonne gestion de l’attention et des émotions est alors cruciale pour équilibrer cette confiance dans vos prévisions.

• Pour renforcer la fiabilité de vos prévisions selon le moment où vous vous concentrez (début, milieu ou fin d’un processus), voici des stratégies adaptées :

  • Concentration en début ou fin (moments d’équilibre plus probables selon la loi d’arcsinus)

    • Surveillez et mettez à jour régulièrement vos prévisions pour capter les changements aux moments critiques, en utilisant par exemple des techniques de lissage ou de mise à jour bayésienne3.

    • Validez et backtestez vos modèles sur des données historiques pour bien calibrer la prédiction des retours à l’équilibre aux extrémités3.

    • Utilisez des outils et logiciels spécialisés pour automatiser la collecte et l’analyse des données, réduisant ainsi les erreurs humaines1.

    • Impliquez les parties prenantes clés dans la prévision collaborative, afin d’intégrer différents points de vue et scénarios (meilleur/pire)7.

    • Planifiez des points de contrôle spécifiques au début et à la fin du processus pour ajuster vos prévisions en fonction des observations réelles7.

  • Concentration au milieu (moment où les équilibres sont rares et la persistance forte)

    • Adoptez une approche prudente en anticipant la persistance d’un état dominant, et évitez de surestimer la fréquence des changements d’équilibre.

    • Mesurez et suivez la fiabilité de vos prévisions avec des indicateurs adaptés (MAE, RMSE, score Brier…) pour détecter les biais ou erreurs récurrentes238.

    • Gardez une flexibilité dans vos modèles pour intégrer la variabilité et l’incertitude propre à cette phase, en évitant le surajustement3.

    • Faites des pauses régulières et organisez votre concentration (ex. technique Pomodoro) pour maintenir une attention optimale lors de l’analyse de périodes longues et stables6.

  • Stratégies générales pour toute phase

    • Dépolluez et vérifiez la qualité des données avant toute analyse pour éviter des prévisions biaisées15.

    • Définissez des objectifs clairs pour orienter vos efforts et choisir les méthodes adaptées5.

    • Mettez à jour régulièrement vos modèles prédictifs pour qu’ils restent pertinents face à l’évolution des données et des conditions35.

    • Utilisez l’intelligence artificielle et l’analyse prédictive pour détecter des tendances invisibles et améliorer la précision globale75.

  En résumé, en vous concentrant sur les moments où la loi d’arcsinus indique une forte probabilité d’équilibre (début et fin), vous pouvez renforcer la fiabilité de vos prévisions par des mises à jour fréquentes, validations rigoureuses et collaboration. Au milieu, où la persistance domine, privilégiez la prudence, la mesure de la fiabilité et la flexibilité des modèles.

verser ou se renforcer

Fondation Wikimedia, Inc.

Loi arc sinus - Wikipédia

ilo

[PDF] SÉCURITÉ ET HYGIÈNE DU TRAVAIL

persee

L'usage de l'entretien en sciences sociales. Plaidoyer pour l' - Persée

repositorio.cepal

RVF-Numero especial_fr.pdf.txt - Cepal

La loi de l'arcsinus, issue de la théorie des marches aléatoires, décrit la distribution du temps passé dans une tendance, mais elle ne permet pas directement d'identifier des moments précis où une tendance va s'inverser ou se renforcer.

En effet :

• La loi de l'arcsinus montre que les périodes où une variable reste d’un même côté (par exemple, au-dessus ou en dessous d’un niveau) ont tendance à être longues, ce qui explique la persistance des tendances, mais elle ne donne pas d’indicateurs précis pour prévoir le moment où la tendance changera1.

• Elle décrit une propriété statistique globale du processus, pas un signal ponctuel d’inversion.

Pour identifier des retournements ou renforcements de tendance en Bourse, on utilise plutôt des outils d’analyse technique spécifiques, comme :

• L’indicateur Vortex, qui mesure la force et la direction de la tendance et peut signaler un renversement lorsque ses lignes croisent5.

• Les moyennes mobiles, les niveaux de support/résistance, les oscillateurs (RSI, MACD), et les modèles graphiques (tête-épaules, doubles sommets) qui fournissent des signaux concrets d’inversion ou de continuation5.

En résumé, la loi de l’arcsinus éclaire la nature persistante des tendances, mais la détection précise des inversions ou renforcements repose sur des indicateurs techniques complémentaires.

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EXEMPLES   PERMANENCES DE CASINO.

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