Roulette

Ecart-type

Deux variables aléatoires peuvent avoir la même moyenne mais un comportement très différent. L'écart-type représente la dispersion autour de la moyenne.


La quantité « écart-type » n’est pas la moyenne de l’écart à la moyenne (qui serait zéro), mais la racine carrée (√) de la moyenne du carré des écarts à la moyenne, qui est beaucoup moins compliquée que sa définition ne semble l'indiquer ! Cette quantité est généralement appelée σ (sigma).
Pour des nombres entiers tirés au hasard de 0 à 100, l’écart-type vaut environ 29.

 Par exemple : si vous lancez une pièce de monnaie, vous obtenez le résultat face (1) ou pile (0) avec une moyenne 0,5 et un écart-type également 0,5 (puisque l’écart à la moyenne vaut toujours 0,5). Si vous la lancez 100 fois, le total des « faces » sera en moyenne 50 avec un écart-type √(100) fois 0,5, donc 5.

Approximation gaussienne, loi normale, courbe "en cloche"

 

Lorsque l’on connaît la moyenne (m) et l’écart-type (σ), la probabilité d’obtenir une certaine valeur x est approximativement :

p(x) = exp( -(x-m)²/(2σ²) ) / (σ* √(2 π))

 

 Dans l’exemple des 100 lancers à pile ou face, la formule ci-dessus permet de facilement tracer la courbe p(x) qui est à une précision meilleure que 5% pour x entre 35 et 65 (soit à ± 3 fois l’écart-type), par rapport au vrai résultat facilement calculable dans ce cas : C(100,x) divisé par 2 puissance 100.

 

 Pour une série de 100 lancers à pile ou face, l’approximation gaussienne donnerait donc environ 2/3 de chances de chances d’avoir de 45 à 55 piles ou faces, et une quasi-certitude d’être entre 35 et 65. Mais sur 1000 séries de 100 lancers, on sera environ 3 fois en dessous de 35 ou au-dessus de 65.

 

 

effectivement, la probabilité d'obtenir un retour à 0 après 6 lancers mais pas avant est de 1/16, soit 6,25 % .
Ensuite, appelons E l'expérience aléatoire consistant à lancer six fois une pièce de monnaie, et imaginons qu'on réalise E 800 fois. D'après le calcul précédent, on peut s'attendre à obtenir 800/16 soit 50 situations où on sera revenu à 0 après six lancers exactement. Grâce à l'écart type de la variable aléatoire d'espérance 50 consistant à compter combien de fois sur 800 on est revenu à 0 après six lancers exactement, on peut construire des intervalles de confiance.
Effectivement, l'intervalle [espérance - 5 écarts type, espérance + 5 écarts type] est un intervalle de confiance (très) élevé : à 99 % ? 99,9 % ? Je ne sais pas exactement, mais ce qui est sûr, c'est qu'on en sort de temps en temps !
Autrement dit, si, un grand nombre de fois, tu réalises 800 fois l'expérience E en comptant à chaque fois le nombre de retours à 0 en six étapes exactement, il faut d'attendre à ce que de temps en temps, ce compte s'éloigne de manière non négligeable de 50. Donc ce que tu as constaté ne m'étonnes pas a priori.

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