Loi de l'Arc-Sinus appliquée aux jeux de hasard....

La loi de l’arcsinus, introduite par le mathématicien Paul Lévy, est un résultat fondamental en théorie des probabilités, notamment dans l’étude du mouvement brownien et des processus stochastiques à trajectoires symétriques. Elle décrit des comportements surprenants de certaines variables aléatoires associées au mouvement brownien, comme le temps passé au-dessus de zéro, le moment du maximum, ou le dernier zéro avant un instant donné.

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1. Contexte général

La loi de l’arcsinus apparaît dans le cadre du mouvement brownien standard $B_t$, c’est-à-dire un processus aléatoire continu tel que :

• $B_0=0$ ;
• les accroissements $B_{t+s}-B_t$ sont indépendants et suivent une loi normale centrée de variance ( s ) ;
• les trajectoires sont presque sûrement continues.

Paul Lévy a montré que certaines grandeurs associées à ce processus suivent une loi particulière, appelée loi de l’arcsinus, en raison de la forme de sa densité, qui fait intervenir la fonction arcsinus.

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2. Énoncé principal de la loi de l’arcsinus

Soit $B_t$ un mouvement brownien standard sur l’intervalle [0, 1].
On note :

• (A) : le temps passé par le brownien au-dessus de zéro
  $T={\int }_0^1{\mathbf{1}}_{\{B_t>0\}}dt\mathrm{.}$

• (B) : le moment où $B_t$ atteint son maximum sur [0, 1].
  $M=\arg {\max }_{0\le t\le 1}{B}_t\mathrm{.}$

• (C) : le dernier instant où le brownien est nul avant 1.
  $Z=\sup \{t\le 1\mid B_t=0\}\mathrm{.}$

Alors, Paul Lévy a démontré que ces trois variables aléatoires ont la même loi, appelée loi de l’arcsinus.

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3. Densité et fonction de répartition

La densité de la loi de l’arcsinus sur [0, 1] est :

$$f(x)=\frac{1}{\pi \sqrt{x(1-x)}},0<x<1.$$

La fonction de répartition correspondante est :

$$F(x)=\frac{2}{\pi }\arcsin (\sqrt{x}),0\le x\le 1.$$

Cette forme justifie le nom « loi de l’arcsinus ».

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4. Interprétation et propriétés

a. Forme de la loi

La densité est très élevée près de 0 et 1, et minimale au milieu.
Cela signifie que, par exemple :

• Il est très probable que le mouvement brownien passe presque tout son temps au-dessus ou presque tout son temps en dessous de zéro ;
• Il est peu probable qu’il passe environ la moitié du temps de chaque côté.

b. Symétrie

La loi est symétrique par rapport à 1/2 :

$$f(x)=f(1-x)$$

Elle traduit la symétrie du mouvement brownien.

c. Moments

Les moments de cette loi peuvent être exprimés par :

$$\mathbb{E}[T^k]=\frac{\left(\genfrac{}{}{0px}{}{2k}{k}\right)}{4^k}\mathrm{.}$$

Par exemple, l’espérance vaut 1/2, ce qui reflète la symétrie, mais la variance est 1/8, plus grande que celle d’une loi uniforme (1/12).

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5. Interprétation géométrique et probabiliste

La loi de l’arcsinus décrit des phénomènes de concentration aux extrêmes dans les processus aléatoires symétriques. Elle apparaît aussi :

• dans la théorie des marches aléatoires symétriques (discrètes) — le nombre d’étapes positives suit asymptotiquement une loi de l’arcsinus ;
• dans la physique statistique, pour modéliser le temps d’occupation d’un état ;
• dans la finance et la modélisation du hasard, pour décrire le temps passé par un actif « au-dessus » ou « en dessous » d’un certain seuil.

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6. Résumé synthétique

Aspect	Description
Processus étudié	Mouvement brownien (ou marche aléatoire symétrique)
Variable typique	Temps passé au-dessus de zéro, moment du maximum, dernier zéro
Densité	$f(x)=\frac{1}{\pi \sqrt{x(1-x)}}$
Fonction de répartition	$F(x)=\frac{2}{\pi }\arcsin (\sqrt{x})$
Support	[0, 1]
Caractéristiques	Symétrique, forte densité près de 0 et 1
Principal auteur	Paul Lévy (1939)

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La loi de l’arcsinus de Paul Lévy illustre l’un des résultats les plus élégants et contre-intuitifs de la théorie du hasard : dans un processus parfaitement symétrique comme le brownien, les comportements extrêmes sont les plus probables.

Elaboration d’une stratégie gagnante grâce à la Loi de l’Arc-sinus . FIN des travaux prochainement…

en instance de publication  HIVER 2020

NEWS NEWS.... JEUX ALEATOIRE et ARCSINUS ! "publication en cours"

Jouer pour l’équilibre dans un jeu équiprobable tel que le Pile ou Face semble être une question de bon sens. Seulement une certaine branche récente  des probabilités et diverses expériences semblent démontrer le contraire !

Je m’explique…

Nous pensons tous que sur le long terme, les pertes d’aujourd’hui seront compensées par des gains demain. La maxime Shadock, et cela justifie souvent l’emploi de martingales, nous dit qu’en essayant continuellement, on finit par réussir, car le hasard implique  nombre d’essais.

Nous savons aussi que dans la Théorie des jeux, on nous indique que contrairement à notre adversaire (une séquence de numéros de Roulette par exemple), nous conservons nos capacités  d’analyse et de décision face à un adversaire ayant des intérêts  totalement opposés aux nôtres.

Nous savons qu’il ne faut pas s’attacher à regarder un coup, mais un ensemble de coups afin de capter les déviations momentanées, tout comme nous savons bien qu’un vrai tirage aléatoire ne possède pas une équiprobabilité idéale, le hasard étant imparfait mais possédant seulement  des caractéristiques bien définies.

Le fait de choisir le moment propice (choix du Roi), pour jouer en utilisant certaines propriétés des marches aléatoires symétriques et de la loi de l’Arc-sinus, démontre qu’il existe une possibilité rationnelle d’extraire des sous- suites aléatoires n’ayant pas vraiment toutes les caractéristiques de suites parfaitement aléatoires…

Pour plus d’informations précises et complémentaires concernant ce passage complexe, je vous invite à consulter certains ouvrages spécialisés dans le domaine des marches aléatoires unidimensionnelles symétriques  et du premier et dernier passage par l’origine,  ainsi que de la Loi de l’Arc-sinus, de la ruine du joueur, du principe de réflexion, etc…

J’éviterai donc les longues démonstrations mathématiques dépassant les limites de la plupart du commun des mortels, en ne retenant que l’essentiel et les conclusions de ces probabilités  qui sont à la pointe de la recherche.

Tout cet article n’est peut-être que l’ébauche  d’une théorie future  beaucoup plus complète ...

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Au jeu du Pile ou Face, souvent représenté par des « marches de l’ivrogne » ou des marches aléatoires symétriques, l’intuition suggère que le gain d’un joueur (partant de 0) oscille fréquemment autour de 0. Ainsi, après une longue partie ininterrompue, la probabilité que le dernier passage à l’origine soit ancien devrait être faible. Or, c’est loin d’être le cas !

On peut même dire que la probabilité qu’il n’y ait pas de retour à l’origine durant la seconde moitié du jeu, et cela quel que soit la durée du jeu, est égale à 50 % !

En réalité, on repasse rarement par l’origine, on se déplacera le plus souvent de son temps du côté positif (ou négatif). Donc un joueur de Pile ou face restera gagnant ou perdant pendant longtemps.

Dans les marches aléatoires, les sauts successifs sont des variables aléatoires  indépendantes , par contre, les positions successives (la fortune d’un joueur par exemple) ne sont pas indépendantes.

Une marche aléatoire symétrique représente un marcheur ou une particule qui se déplace de part et d’autre d’une ligne avançant tantôt vers la droite tantôt vers la gauche avec des sauts successifs de mêmes valeurs aléatoires et indépendants. Son avance n’est pas proportionnelle au temps écoulé, mais à sa racine carrée. Dans un écoulement  turbulent, qui présent des analogies avec le mouvement Brownien,  la variation de vitesse est proportionnelle à la racine cubique.

Paul LEVY en 1919, cherchant de nouveaux concepts à la théorie des erreurs, bouleversa la théorie des probabilités et inventa une branche moderne des mathématiques ainsi  qu’une loi méconnue, la Loi de l’Arc-sinus.

La position à un point donné, dépend de la position antérieure (arbre d’éventualité). Le futur ne dépend du passé que par l’intermédiaire du présent. Cette marche aléatoire est considérée comme une chaîne de Markov et en possède toutes les propriétés.

LOI DE L’ARC-SINUS .

En analysant les différentes  caractéristiques  des marches aléatoires et de la Loi de l’Arc-sinus, on voit que l’espérance de cette loi est la valeur qui a le moins de chance de se réaliser. Cette espérance est de 0,5 alors que la variance est de 0,125.

Cette loi modélise le fait que si l’on tire à Pile ou Face un très grand nombre de fois, on se trouve où, soit les gains, ou soit les pertes sont majoritaires pendant de très longues périodes (souvent la quasi-totalité des tirages). Cette Loi Bêta est assez paradoxale, puisque c’est la valeur la moins probable et les valeurs extrêmes les plus probables.

Si deux joueurs s’affrontent dans un jeu équitable (Pile ou Face), il y a donc plus de chances d’être constamment en gain, ou constamment en perte, que d’être dans le cas médian (persistance de la chance et de la malchance).

Densité de probabilité.

                              

 







Fonction de répartition.

La première propriété à tirer est que la probabilité de rester peu de temps sur l’axe positif égale la probabilité d’y passer beaucoup de temps. Ceci est conforme au bon sens puisque si la marche a peu de chances de rester presque tout le temps positive, elle a aussi peu de chance de rester tout le temps négative.

La nouveauté est plutôt que les deux régimes extrêmes sont les plus probables ! Et ce point est CAPITAL.

On voit bien sur les graphiques ci-dessus que la probabilité est maximale de passer une fraction de temps soit faible, soit importante sur l’axe positif et que celle d’y passer la moitié du temps est minimale.

Une propriété encore plus remarquable concerne les valeurs aux deux bords. Ainsi la probabilité que le marcheur passe 90 % à droite de l’origine est énorme (environ 1 /5 ème) !

En découle aussi le fait qu’avec probabilité 1/10, la marche  passera presque 99,4 % de son temps du même côté de l’origine.

On a aussi 1/3 de chances pour que le dernier retour en 0 ait lieu dans le premier quart du jeu.

On a ½ chance pour que le dernier retour en 0 ait lieu dans la première moitié du jeu.

Par contre la probabilité que le marcheur passe au plus la moitié de son temps sur l’axe positif est un demi, ce qui est attendu.

Si deux joueurs jouent à Pile ou Face une fois par seconde pendant 365 jours, une fois sur 20 (5%), le plus chanceux des deux dominera l’autre pendant plus de 364 jours et 10 heures !!!

Tout ceci amène de larges possibilités pour l’élaboration de systèmes de jeux sur  des chances équiprobables à l’écart…

En ce qui concerne des propriétés bien connues comme la « Ruine du joueur », on peut rajouter aussi que si deux joueurs ont chacun 10 euros et misent un euro par partie, en moyenne il faudra 100 parties par jour pour que l’un des 2 joueurs soit ruiné. Le temps le plus long dans ce cas est d’ailleurs obtenu lorsque les 2 joueurs ont la même fortune. En dehors de cette égalité de fortune, la partie décroit rapidement.

De même, certaines particularités des marches aléatoires appliquées au jeu du Pile ou Face, nous montrent que :

-Le retour à l’origine des marches aléatoires infinies est une certitude.

-Contrairement à l’intuition, la probabilité en partant de 0, que l’on n’ait pas perdu au bout de 100 lancers, (pas de retour à l’origine) est de 0,08 !

Lorsqu’il y a donc un déséquilibre entre 2 chances simples opposées, le retour à l’équilibre est certain sur le très long terme (infini) mais devient de plus en plus rare et hypothétique.

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                           IMPORTANT :

Des deux propriétés inattendues et fondamentales à retenir à propos des marches aléatoires symétriques et de la Loi de l’Arc-sinus, la première est qu’il est assez probable de revenir rapidement en 0 (équilibre entre 2 chances simples) quand le nombre de coups observés est faible.

Par contre, à partir d’un certain SEUIL, la probabilité de revenir en 0 devient plus la partie se prolonge (déséquilibre persistant) de plus en plus faible.

Une conséquence importante de la loi d’Arc-sinus est que si l’on procède à un grand nombre de lancers à Pile ou Face, la dernière fois que le nombre de Pile et le nombre de Face auront coïncidé, est proche du début ou proche de la fin de la série…

Voici donc les deux tableaux fondamentaux à retenir pour l’élaboration d’un système de jeu basé sur le fait de miser pour la prolongation et la persistance de la chance dominante à partir d’un certain seuil.

Le deuxième tableau donnant une valeur précise du seuil fatidique. Ce seuil étant fixé mathématiquement à  SIX COUPS.

Ces tableaux étant tiré d’études mathématiques sur les marches aléatoires unidimensionnelles symétriques.
 Le tableau suivant donne les premières valeurs de la loi de :

Il est donc assez probable de revenir rapidement en 0, puis la loi prend des valeurs plutôt faibles, tout en décroissant lentement. Il suit de (3.1.6) que pour des grands , décroît comme . Ce fait a une conséquence surprenante:

TABLEAU 2

En ne retenant que les propriétés des marches aléatoires et des retours ou des passages par l’origine et de la Loi de l’Arc-sinus , ainsi que les deux tableaux précédents, nous sommes à même d’élaborer sur le papier un système de jeu cohérent basé sur la prolongation de l ‘écart entre deux chances opposées à partir d’un nombre de boules supérieures à SIX.

C’est-à-dire que dès l’apparition d’une séquence égale à 6 coups n’ayant toujours pas résorbé un écart persistant entre 2 chances équiprobables, on misera sur la chance prédominante jusqu’à l’obtention d’un gain sur la séquence de jeu à masses égales.

Ceci confirme qu’une fréquence moyenne est d’autant plus concentrée autour de son espérance que les probabilités des différents évènements sont hétérogènes ! On peut donc dire que des petites séquences possédant des imperfections aléatoires se compensent sur le long terme pour atteindre l’équilibre général attendu.

De plus, n’oublions pas certaines notions à propos des probabilités et des jeux dits de « hasard ».

Les probabilités ne sont pas une science exacte, et aucune expérience n’est totalement indépendante de l’expérimentateur, ce qui peut renforcer un certain déséquilibre.

 A nous de nous servir de ces séquences pour l’élaboration d’un système de sélection de jeu.

Plus n est grand, plus petites sont les chances d’obtenir autant de Rouge que de Noir.

Après de très nombreux tests, simulations, archivages et essais, il s’est avéré que le nombre de coups à jouer après 6 coups d’observation serait IMPAIR et de séquences  de TROIS COUPS.

Explications :

Après une série de 6 coups et donc la persistance d’une avance quelconque entre 2 chances simples (+ 6,+4, +2), en jouant réellement les 3 coups suivants à masses égales on aura observé ou joué 9 coups. Sur une période déséquilibrée, il impossible d’obtenir une parité ( 4,5 mises de chaque côté), ce qui renforce encore nôtre possibilité de continuation d’écart sur une séquence qui aura très peu de chances d’être équilibrée.

La comptabilité s’effectuera donc par séries de 3 coups joués mutualisés, et continuera tant que nous serons en déficit en jouant de nouveau une série de 3 et cela « in fine » tant que nous n’obtiendrons pas une série de 3 avec un bilan positif. La gestion globale de ce système et ses différentes fluctuations se feront donc sur le long terme, mais les caractéristiques de la permanence totale n’auront plus vraiment les caractéristiques d’une séquence parfaitement aléatoire. Ce qui semble démontrer qu’en extrayant d’une certaine façon des morceaux de permanences parfaitement aléatoires (une série de boules de Roulette), nous contredirions le fait que dans un tirage aléatoire sans contraintes, toutes les stratégies sont vouées à l’échec et qu’aucun pari répété gagnant n’est possible !

Nota : le jeu s’interrompant lorsque l’écart général (coups joués et coups observés)est revenu à l’équilibre entre les 2 chances simples de notre sélection  quel que soit le bilan général !

Par cette façon de procéder, il est à noter que ce jeu offre des possibilités rentables à long terme, ou tout du moins une base de sélection très stable.

Je donne en exemple  sur  l’année 2011 du casino de HOHENSYBURG, en jouant toutes les journées  à  compter de la première boule jusqu’à l’obtention d’un gain sur une série de 3 jouée. Les séries entamées et clôturées en négatif engendrant un nouveau jeu sur la même journée jusqu’à l’obtention d’une phase de3 coups en gain.

Ce type de sélection est très stable et permet un large éventail de modifications et d’améliorations dont l’emploi de martingales adaptées.

La sortie du zéro restant négligeable vu le nombre de boules jouées réellement, une assurance peut être envisagée en cas de mises à grosses masses égales.

Dans mes études en cours, je suis à la recherche d’améliorations qui m’amènent à modifier mes deuxièmes séquences de séries de 3 en appliquant une montante en palier qui s’arrêterait après un premier gain…

Ces travaux en cours ont l’air très prometteurs et ne remettent nullement en cause la très grande stabilité de notre sélection de jeu qui permet d’extraire des séquences aléatoires qui ne possèderaient plus toutes les caractéristiques des séries aléatoires, en déplaise aux mathématiciens !

Ces recherches tendent à essayer de prouver notamment, que :

-les écarts sont moins nombreux, plus lissés, moins puissants…

-on obtient des coups de gains au-delà de l’équilibre attendu sur le long terme

-on arrive sur le long terme à une certaine stabilité générale, d’où une certaine prévisibilité déterministe, ce qui est mathématiquement contesté !

                                                                                                        Joël WHIDARTE ( octobre 2013)

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Bonne question — la loi de l'arcsinus (ou lois d'arcsinus de Lévy) apparaît dans plusieurs propriétés étonnantes des marches aléatoires et du mouvement brownien. Voici l'essentiel + exemples concrets.

1) Formulation continue (mouvement brownien standard B(t), 0 ≤ t ≤ 1)
- Loi pour la proportion T+ du temps pendant lequel B(t) ≥ 0 sur [0,1] :
la densité de T+ est
f(x) = 1 / (π √(x(1 − x))) , pour 0 < x < 1.
La fonction de répartition est
F(x) = P(T+ ≤ x) = (2/π) arcsin(√x).
- Interprétation : la proportion du temps positive n'est pas centrée en 1/2 mais suit cette densité en U (fortes masses près de 0 et 1).

Exemple numérique :
- Probabilité que B(t) soit positif plus de 90 % du temps sur [0,1] :
P(T+ > 0.9) = 1 − F(0.9) = 1 − (2/π) arcsin(√0.9) ≈ 0.205 (≈ 20.5 %).

2) Deux lois d'arcsinus supplémentaires (toujours pour le mouvement brownien sur [0,1]) — toutes trois ont la même loi arcsinus :
- Moment τlast de la dernière fois où B(t) = 0 (la dernière racine avant 1). τlast a la densité f(x) ci‑dessus.
- Instant τmax où B(t) atteint son maximum sur [0,1]. τmax a la même loi.

Interprétation utile : il est surprenant que la dernière fois où le processus est à zéro et l'instant du maximum aient la même distribution que la proportion du temps positive.

3) Version discrète (marche aléatoire symétrique simple)
- Pour une marche aléatoire symétrique Sn (n étapes), la proportion de temps où Sk ≥ 0 (k = 1..n), après normalisation, converge en loi vers la loi d'arcsinus quand n → ∞.
- Autre résultat de Sparre Andersen : certaines propriétés de la durée entre changements de signe ne dépendent pas de la distribution continue et symétrique des sauts ; la loi d'arcsinus apparaît dans ce type de limites.

4) Exemple concret simple (simulation)
- Simulez un grand nombre de trajectoires de mouvement brownien approché ou de marche symétrique longue, calculez pour chaque trajectoire la fraction de pas (ou de temps) positives, et tracez l'histogramme : il sera fortement en U (pics près de 0 et 1), conforme à f(x) = 1/(π√(x(1−x))).

5) Remarques
- La loi est U‑shaped : valeurs proches de 0 ou 1 sont plus probables qu'autour de 1/2.
- Apparitions fréquentes en théorie des files, excursions, temps d'occupation et maxima des processus stochastiques.

Souhaitez‑vous :
- la démonstration heuristique d'une de ces lois (par ex. pour T+) ?
- un script de simulation (Python) pour visualiser la loi ?

Vous avez écrit :sur 100 coups de pile ou face quelle est le nombre de coups optimal pour avoir un équilibre au début entre les 2 chances ?

Le chatbot a écrit :Bonne question — il faut d’abord préciser ce que vous entendez par « équilibre » : égalité exacte nombre de piles = nombre de faces, ou seulement « proche » (par ex. différence ≤ d) ? Je donne les deux réponses courtes puis vous adaptez.

1) Si vous voulez une égalité exacte au bout de k lancers
- Pour k impair c’est impossible. Pour k pair la probabilité d’égalité est
P(k) = C(k, k/2) / 2^k.
- Cette probabilité décroît quand k augmente (après k = 2). Le maximum sur k ≤ 100 est atteint pour k = 2, avec P(2) = 1/2. Exemples :
- k = 2 : P = 0.500
- k = 4 : P = 6/16 = 0.375
- k = 10 : P = 252/1024 ≈ 0.246
- k = 100 : P ≈ 0.0796.

Donc, si votre critère est « la plus grande probabilité d’avoir strictement autant de piles que de faces au début », le meilleur choix est k = 2.

2) Si vous souhaitez seulement être « proche » d’un équilibre (par ex. différence ≤ d)
- La différence entre nombres de piles et faces après k lancers est d’ordre √k (loi normale centrée quand k grand). Plus précisément, pour grandes k :
P(|#piles − #faces| ≤ d) ≈ Φ(d/√k) − Φ(−d/√k) = 2Φ(d/√k) − 1,
où Φ est la CDF normale standard.
- Exemple pratique : pour k = 100, √k = 10.
- Probabilité que la différence soit ≤ 10 (i.e. |diff| ≤ 10) ≈ 2Φ(1) − 1 ≈ 0.682 (≈ 68 %).
- Pour |diff| ≤ 5 (d = 5) : 2Φ(0.5) − 1 ≈ 0.383 (≈ 38 %).

Conclusion rapide
- Pour égalité exacte : k = 2 maximise la probabilité.
- Pour « quasi‑égalité » (petite différence relative), prenez un k plus grand — la fluctuation typique croît comme √k, donc la différence relative (#piles − #faces)/k décroît comme 1/√k.

Voulez‑vous :
- que je calcule la probabilité d’égalité ou de quasi‑égalité pour un k précis ?
- un tableau/graphique des P(d’égalité) en fonction de k jusqu’à 100 ?

Vous avez écrit :oui pour 10 coups

Le chatbot a écrit :Parfait — pour 10 lancers (pièce équilibrée, p = 1/2), voici les résultats exacts et quelques interprétations.

Bases
- Nombre de piles H ~ Bin(10, 1/2). Probabilité P(H = k) = C(10,k)/2^10 avec 2^10 = 1024.
- Écart D = #piles − #faces = 2H − 10. Écart typique (écart‑type) : sd(H) = √(10·0,5·0,5) = √2.5 ≈ 1.5811, donc sd(D) = 2·sd(H) ≈ 3.1623.

Probabilité d'égalité exacte (H = 5)
- P(H = 5) = C(10,5)/1024 = 252/1024 ≈ 0.24609 (≈ 24.61 %).

Probabilités d'être "presque égal" (|#piles − #faces| ≤ 2d)
(équivalent à H dans [5−d, 5+d])

- |D| ≤ 0 (égalité exacte): P = 252/1024 ≈ 24.61 %.
- |D| ≤ 2 (H ∈ {4,5,6}): P = (C(10,4)+C(10,5)+C(10,6))/1024 = (210+252+210)/1024 = 672/1024 = 0.65625 (65.625 %).
- |D| ≤ 4 (H ∈ {3..7}): add C(10,3)+C(10,7)=120+120 → total 912/1024 = 0.890625 (89.06 %).
- |D| ≤ 6 (H ∈ {2..8}): add C(10,2)+C(10,8)=45+45 → total 1002/1024 ≈ 0.97852 (97.85 %).
- |D| ≤ 8 (H ∈ {1..9}): add C(10,1)+C(10,9)=10+10 → total 1022/1024 ≈ 0.99805 (99.80 %).
- |D| ≤ 10 (toujours vrai): P = 1.

Interprétation rapide
- A 10 lancers, l'égalité exacte a ~25 % de chance.
- Il y a ~66 % de chance que la différence entre piles et faces soit ≤2 (autrement dit H ∈ {4,5,6}).
- L'écart typique vaut environ 3,16 (donc attendre une différence de ~3 en moyenne magnitude n'est pas surprenant).

Voulez‑vous que je vous donne :
- la distribution complète (table H = 0..10) ?
- un graphique ou un petit script Python pour simuler/visualiser ?

La loi de l’arcsinus, introduite par le mathématicien Paul Lévy, est un résultat fondamental en théorie des probabilités, notamment dans l’étude du mouvement brownien et des processus stochastiques à trajectoires symétriques. Elle décrit des comportements surprenants de certaines variables aléatoires associées au mouvement brownien, comme le temps passé au-dessus de zéro, le moment du maximum, ou le dernier zéro avant un instant donné.

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1. Contexte général

La loi de l’arcsinus apparaît dans le cadre du mouvement brownien standard $B_t$, c’est-à-dire un processus aléatoire continu tel que :

• $B_0=0$ ;
• les accroissements $B_{t+s}-B_t$ sont indépendants et suivent une loi normale centrée de variance ( s ) ;
• les trajectoires sont presque sûrement continues.

Paul Lévy a montré que certaines grandeurs associées à ce processus suivent une loi particulière, appelée loi de l’arcsinus, en raison de la forme de sa densité, qui fait intervenir la fonction arcsinus.

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2. Énoncé principal de la loi de l’arcsinus

Soit $B_t$ un mouvement brownien standard sur l’intervalle [0, 1].
On note :

• (A) : le temps passé par le brownien au-dessus de zéro
  $T={\int }_0^1{\mathbf{1}}_{\{B_t>0\}}dt\mathrm{.}$

• (B) : le moment où $B_t$ atteint son maximum sur [0, 1].
  $M=\arg {\max }_{0\le t\le 1}{B}_t\mathrm{.}$

• (C) : le dernier instant où le brownien est nul avant 1.
  $Z=\sup \{t\le 1\mid B_t=0\}\mathrm{.}$

Alors, Paul Lévy a démontré que ces trois variables aléatoires ont la même loi, appelée loi de l’arcsinus.

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3. Densité et fonction de répartition

La densité de la loi de l’arcsinus sur [0, 1] est :

$$f(x)=\frac{1}{\pi \sqrt{x(1-x)}},0<x<1.$$

La fonction de répartition correspondante est :

$$F(x)=\frac{2}{\pi }\arcsin (\sqrt{x}),0\le x\le 1.$$

Cette forme justifie le nom « loi de l’arcsinus ».

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4. Interprétation et propriétés

a. Forme de la loi

La densité est très élevée près de 0 et 1, et minimale au milieu.
Cela signifie que, par exemple :

• Il est très probable que le mouvement brownien passe presque tout son temps au-dessus ou presque tout son temps en dessous de zéro ;
• Il est peu probable qu’il passe environ la moitié du temps de chaque côté.

b. Symétrie

La loi est symétrique par rapport à 1/2 :

$$f(x)=f(1-x)$$

Elle traduit la symétrie du mouvement brownien.

c. Moments

Les moments de cette loi peuvent être exprimés par :

$$\mathbb{E}[T^k]=\frac{\left(\genfrac{}{}{0px}{}{2k}{k}\right)}{4^k}\mathrm{.}$$

Par exemple, l’espérance vaut 1/2, ce qui reflète la symétrie, mais la variance est 1/8, plus grande que celle d’une loi uniforme (1/12).

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5. Interprétation géométrique et probabiliste

La loi de l’arcsinus décrit des phénomènes de concentration aux extrêmes dans les processus aléatoires symétriques. Elle apparaît aussi :

• dans la théorie des marches aléatoires symétriques (discrètes) — le nombre d’étapes positives suit asymptotiquement une loi de l’arcsinus ;
• dans la physique statistique, pour modéliser le temps d’occupation d’un état ;
• dans la finance et la modélisation du hasard, pour décrire le temps passé par un actif « au-dessus » ou « en dessous » d’un certain seuil.

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6. Résumé synthétique

Aspect	Description
Processus étudié	Mouvement brownien (ou marche aléatoire symétrique)
Variable typique	Temps passé au-dessus de zéro, moment du maximum, dernier zéro
Densité	$f(x)=\frac{1}{\pi \sqrt{x(1-x)}}$
Fonction de répartition	$F(x)=\frac{2}{\pi }\arcsin (\sqrt{x})$
Support	[0, 1]
Caractéristiques	Symétrique, forte densité près de 0 et 1
Principal auteur	Paul Lévy (1939)

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La loi de l’arcsinus de Paul Lévy illustre l’un des résultats les plus élégants et contre-intuitifs de la théorie du hasard : dans un processus parfaitement symétrique comme le brownien, les comportements extrêmes sont les plus probables.