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QUAND CONVIENT-IL D’ARRÊTER
MÊME LORSQU’IL S’AGIT DE CHOISIR
entre
deux cartes seulement, on peut réussir plus
d’un coup sur deux. Il faut pour cela disposer
d’un moyen de produire des nombres aléatoires
R,
tirés selon une loi continue, par exemple
la loi gaussienne (loi en forme de cloche).
N1
et
N2 désignent ici les nombres portés par les
deux cartes ;
X est le nombre porté par la première
carte retournée ; l’écriture P (
R<N1)=p,
par exemple, signifie que la probabilité que
R
soit inférieur à
N1 est égale à p.
Tom Dunne and Stephanie Freese
une séquence de tirages à pile
ou face pour maximiser le nombre moyen de faces obtenues? Cette question
d’une simplicité trompeuse reste un problème non résolu. Il est
certain qu’il ne faut pas s’arrêter s’il n’y a pas une majorité absolue de
.
Si votre premier lancer est une face et
que vous vous arrêtez, votre récompense
est ainsi de un Krugerrand. Puisque vous
ne pourrez jamais avoir plus de 100 pour
cent de faces, il est optimal de s’arrêter dans
ce cas. Si, en revanche, le premier lancer
tombe sur le côté pile, il est préférable de
ne pas s’arrêter tout de suite, puisque votre
récompense serait nulle. Supposez que le
premier tirage soit pile, et le second face.
Vous pouvez vous arrêter là et recevoir un
demi-Krugerrand, ou bien continuer à tirer.
Un peu de réflexion montre qu’il n’est jamais
optimal de s’arrêter avec un demi-Krugerrand
ou moins. En effet, en vertu de la
loi des grands nombres, plus le nombre
de lancers est grand, plus la proportion de
faces s’approche de 50 pour cent, en oscillant
aléatoirement au-dessus et au-dessous
de cette valeur. S’arrêter à 50 pour cent n’est
tout simplement pas assez ambitieux.
Avec un peu plus de difficulté, on
montre que s’arrêter au troisième tirage
après pile-face-face est optimal, et que s’arrêter
la première fois qu’on observe plus
de faces que de piles est optimal pendant
un certain temps. Mais s’arrêter la première
fois que vous avez davantage de faces
que de piles ne reste pas éternellement optimal.
Au bout d’un certain temps, on devrait
s’arrêter seulement si l’on a deux faces de
plus que de piles, puis après un deuxième
temps critique, s’arrêter seulement si l’on
a trois faces d’avance, et ainsi de suite.
La démonstration de ce fait n’est pas
aisée, et la liste complète des temps critiques
n’est pas connue. La récurrence à
rebours ne fonctionne pas pour ce problème
puisqu’il n’y a
a priori pas de fin à
la séquence et donc pas de temps futur à
partir duquel on puisse raisonner à reculons.
Malgré des avancées très récentes de
Wolfgang Stadje, de l’Université d’Osnabrück,
en Allemagne, la règle optimale
exacte pour toutes les séquences de faces
et de piles est inconnue.
Néanmoins, le domaine général de l’arrêt
optimal, en particulier avec ses applications
aux marchés financiers, continue à se
développer à vive allure. En fait, certains
spécialistes trouvent que ce rythme a été
trop rapide et que les modèles informatiques
de l’évaluation des options financières et
des produits dérivés sont à l’origine de l’actuelle
crise économique. Mais ce n’est pas
la théorie qui est en cause. Comme d’autres,
j’en attribue la responsabilité à la confiance
aveugle des décideurs dans les prédictions
des modèles informatiques. En fait, de
nouvelles idées et découvertes en matière
d’arrêt optimal, y compris de meilleures estimations
du risque que les modèles mathématiques
soient erronés, sont exactement ce
dont nous avons besoin – non seulement
comme guide pour savoir quand mettre
fin aux subventions, par exemple, mais aussi
pour faire face à de nombreux autres problèmes
cruciaux, notamment quand arrêter
d’utiliser des combustibles fossiles ou
de stocker des armes nucléaires.
"
Nombre
maximal de
lancers du dé
Arrêter
si le premier
lancer donne :
Gain moy
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