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L'impossibilité de trier les séries aléatoires est une évidence mathématique...
Le choix du Roi ne devrait servir à rien, jouer un coup sur deux ou sur trois, former des ensembles et des sous-ensembles ne devrait apporter aucun avantage, même si par exemple on observe une série de 100 Pile ou Face et qu'à l'arrivée on sait très bien qu'il y aura au bout du compte à peu près autant de Pile que de Face, à la racine carrée du nombres de coups près.
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sachant que sur une série de pile ou face , 100 coups par exemple, on sait que l'on aura au bout du compte environ autant de pile que de face à un écart type près de 10 (racine carrée de 100).
Oui, avec une précision importante 🪙
Pour 100 lancers d’une pièce équilibrée, le nombre de Piles suit une loi binomiale :
[ X\sim\mathcal{B}(100,\tfrac12) ]
On a :
- Espérance : (E(X)=100\times \tfrac12=50)
- Écart-type du nombre de Piles :
[ \sigma_X=\sqrt{100\times\tfrac12\times\tfrac12}=5 ]
Donc, on s’attend à environ 50 Piles et 50 Faces, avec un écart-type de 5 Piles autour de 50.
Écart entre le nombre de Piles et de Faces
Si l’on mesure plutôt la différence (D=#\text{Piles}-#\text{Faces}), alors :
[ \sigma_D=\sqrt{100}=10 ]
Ainsi, l’écart entre les deux comptes est typiquement de l’ordre de 10 — et non le nombre de Piles lui-même, dont l’écart-type est 5. En approximation normale, la différence est à environ 10 ou moins dans près de 68 % des séries, et à environ 20 ou moins dans près de 95 %.
Mais cela ne prédit pas le prochain lancer
Même si la série tend à être équilibrée dans son ensemble, après, par exemple, 70 Piles et 30 Faces, le lancer suivant reste :
[ P(\text{Pile au prochain lancer})=\tfrac12 ]
Les lancers sont indépendants : les Faces « en retard » ne sont pas dues à sortir. C’est la distinction essentielle entre la tendance globale d’une longue série et la probabilité du prochain résultat.
a différence est à environ 10 ou moins dans près de 68 % des séries, et à environ 20 ou moins dans près de 95 % ? D'ou provient ce chiffre de 20 ?
D’où vient le chiffre 20 ? 🪙
Il vient de la règle approximative de la loi normale : environ 95 % des valeurs se trouvent à moins de 2 écarts-types de la moyenne.
Pour 100 lancers, posons :
[ D=#\text{Piles}-#\text{Faces}. ]
Chaque lancer ajoute (+1) à (D) s’il donne Pile et (-1) s’il donne Face. La moyenne de (D) est 0 et son écart-type vaut :
[ \sigma_D=\sqrt{100}=10. ]
Donc deux écarts-types donnent (2\times10=20), d’où l’estimation :
[ P(|D|\lesssim20)\approx95%. ]
Petite précision
Le résultat exact est un peu différent, car (D) ne peut prendre que des valeurs paires (…,(-4), (-2), 0, 2, 4, …). Pour 100 lancers, la probabilité d’avoir un écart absolu d’au plus 20 est d’environ 96 %. Le « 95 % » est donc une approximation issue de la courbe normale, pas une valeur exacte.
et un écart 30 ?
Pour un écart d’au plus 30 🪙
Avec 100 lancers, l’écart (D=#\text{Piles}-#\text{Faces}) a un écart-type de 10. Un écart de 30 correspond donc à 3 écarts-types :
[ \frac{30}{10}=3. ]
Selon l’approximation normale, environ 99,7 % des séries ont un écart inférieur à 30 en valeur absolue.
Comme l’écart ne peut prendre que des valeurs paires, la probabilité exacte de (|D|\leq30) est d’environ 99,4 %. Autrement dit, un écart supérieur à 30 arrive dans environ 0,6 % des séries.
Donc sur 100 tirages de 100 Pile ou Face j'aurai donc 6 séries de 100 coups qui auront un écart supérieur à 30 ?
En moyenne, oui — mais pas exactement à chaque fois
Si vous réalisez 100 séries indépendantes de 100 lancers, et qu’une série est dite « écartée » lorsque la différence entre les nombres de Piles et de Faces est strictement supérieure à 30, alors la probabilité pour une série est d’environ 0,6 %.
Le nombre moyen de séries concernées est donc :
[ 100\times 0{,}006 \approx 0{,}6. ]
Vous n’aurez donc pas 6 séries en moyenne, mais plutôt environ 0,6 série — autrement dit, souvent aucune, parfois une, et plus rarement davantage. La probabilité d’en observer au moins une parmi les 100 séries est d’environ 45 %.
Correction : j’avais précédemment indiqué à tort environ 6 séries. Le calcul correct donne environ 0,6.
maintenant j aimerai trouver un moyen de trier les pile et les face d une certaine maniere, les ranger dans des cases par exemple
Une façon simple de ranger les résultats
Pour une série de 100 lancers, vous pouvez créer 10 cases de 10 lancers. Dans chaque case, notez le nombre de Piles et de Faces :
| Case | Lancers | Piles | Faces | Écart (P-F) |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 1–10 | |||
| 2 | 11–20 | |||
| … | … | |||
| 10 | 91–100 |
Cela permet de voir à la fois le résultat global et les variations d’un bloc à l’autre. Pour une pièce équilibrée, chaque case de 10 lancers contient en moyenne 5 Piles et 5 Faces, mais les comptes varient naturellement.
Une autre présentation : classer par nombre de Piles
Si vous répétez l’expérience plusieurs fois, vous pouvez ranger chaque série selon son nombre total de Piles :
| Nombre de Piles | Nombre de séries |
|---|---|
| 0–39 | |
| 40–44 | |
| 45–49 | |
| 50–54 | |
| 55–59 | |
| 60–100 |
Ce tableau forme une distribution des résultats et montre si les séries se concentrent autour de 50 Piles.
Que voulez-vous comparer ?
- La répartition à l’intérieur de chaque série : faites des cases de 10 lancers.
- Les résultats de plusieurs séries : classez les séries par nombre total de Piles.
- Les suites (par exemple Pile-Pile-Face) : notez aussi les séquences ou comptez leur longueur.
Ces classements décrivent les résultats, mais ne permettent pas de prévoir le prochain lancer si la pièce est équilibrée et les lancers indépendants.
non sachant que soit les pile soit les face vont partir a l ecart sur 100 coups, je voudrai tirer un avantage en placant par exemple les differents coups dans des cases et les superposer dans un quadrillage afin d identifier les periodes a l ecart
Oui : vous pouvez construire une carte des « périodes en écart » 🪙
L’idée est de découper chaque série en périodes, puis de comparer les blocs entre eux. Cela peut révéler visuellement des déséquilibres locaux, mais attention : si la pièce est équilibrée et chaque lancer indépendant, repérer un écart passé ne donne pas d’avantage pour prédire le lancer suivant.
1. Découpez les 100 lancers en 10 blocs de 10
Pour chaque série, comptez les Piles dans chaque bloc :
| Bloc | Lancers | Nombre de Piles | Écart à 5 Piles |
|---|---|---|---|
| 1 | 1–10 | ||
| 2 | 11–20 | ||
| … | … | … | … |
| 10 | 91–100 |
L’« écart à 5 » vaut Piles − 5. Par exemple, 7 Piles dans un bloc donnent (+2), et 3 Piles donnent (-2). Un bloc à (+2) a aussi 7 Piles et 3 Faces.
2. Superposez les séries dans un quadrillage
Faites une ligne par série et une colonne par bloc. Utilisez par exemple :
- 🔵 pour un bloc avec 6 Piles ou plus ;
- ⚪ pour 5 Piles ;
- 🔴 pour 4 Piles ou moins.
Exemple fictif :
| Série | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| A | 🔵 | 🔴 | ⚪ | 🔵 | 🔴 | 🔵 | ⚪ | 🔴 | 🔵 | ⚪ |
| B | 🔴 | 🔵 | 🔵 | ⚪ | 🔴 | ⚪ | 🔴 | 🔵 | ⚪ | 🔵 |
Vous verrez ainsi les blocs où les Piles ou les Faces sont plus nombreuses, et si certains motifs se répètent.
3. Mesurez aussi l’écart cumulé
Pour repérer un déséquilibre qui se prolonge, calculez après chaque lancer :
[ D_k=(\text{Piles après }k)-(\text{Faces après }k). ]
Tracez (D_k) de 1 à 100. Une montée indique une avance des Piles ; une descente, une avance des Faces. Cela décrit les périodes passées, mais ne signifie pas que le côté en retard va bientôt “rattraper” l’autre.
Pour vérifier si le quadrillage révèle vraiment quelque chose
Il faut répéter l’expérience sur de nombreuses séries et définir le critère avant d’examiner les résultats. Sinon, on peut facilement voir des motifs dus au hasard. Si vous cherchez plutôt à détecter une pièce biaisée, conservez les données et comparez le nombre total de Piles à 50 sur beaucoup de lancers.
et si je fais des blocs de 25 (4) , l ecart moyen devrait etre 5 ? Je peux ainsi les reperer
Oui, avec une nuance sur ce que signifie « écart moyen » 🪙
Pour un bloc de 25 lancers d’une pièce équilibrée :
- Nombre moyen de Piles : (12{,}5)
- Nombre moyen de Faces : (12{,}5)
- Écart-type du nombre de Piles :
[ \sqrt{25\times\tfrac12\times\tfrac12}=2{,}5 ] - Pour la différence entre Piles et Faces, l’écart-type est : [ \sqrt{25}=5 ]
Donc, oui : la différence Piles − Faces a un écart-type de 5 par bloc de 25. Cela ne signifie pas que chaque bloc aura un écart de 5 : c’est une mesure de la variation typique. La différence sera toujours impaire pour un bloc de 25 : (1, 3, 5,\ldots) en valeur absolue.
Repérer les blocs
Pour chacun des quatre blocs, notez :
| Bloc | Piles | Faces | Différence (P-F) |
|---|---|---|---|
| 1 | |||
| 2 | |||
| 3 | |||
| 4 |
Par exemple, 15 Piles et 10 Faces donnent un écart de (+5). Vous pouvez ainsi repérer les blocs où un côté a été en avance.
Mais cet écart observé ne prédit pas le bloc suivant : avec une pièce équilibrée, chaque lancer reste indépendant, même si un bloc précédent a eu davantage de Piles ou de Faces.
et sur 100 series de 100 en faisant des blocs de 25 peut on savoir combien auront un ecart de 5 ou plus ?
Oui — en moyenne, on peut l’estimer
Dans un bloc de 25 lancers, soit (P) le nombre de Piles. La différence entre Piles et Faces vaut :
[ D=P-(25-P)=2P-25. ]
Comme 25 est impair, l’écart absolu ne peut pas être exactement 5 : il peut être 3, 5, 7, etc. « Un écart de 5 ou plus » signifie donc (|D|\geq 5), c’est-à-dire au moins 15 Piles ou au moins 15 Faces.
Pour un bloc :
[ \Pr(|D|\geq5) =\Pr(P\leq10\ \text{ou}\ P\geq15) \approx 0{,}424. ]
Il y a 4 blocs par série, donc 400 blocs dans 100 séries de 100 lancers. Le nombre moyen de blocs avec un écart d’au moins 5 est :
[ 400\times 0{,}424 \approx \boxed{170}. ]
Vous pouvez donc vous attendre à environ 170 blocs sur 400 avec un écart d’au moins 5 — pas à un nombre garanti. Les 4 blocs d’une même série sont indépendants si l’on utilise des blocs distincts de 25 lancers.
Ici, « écart » désigne la différence absolue entre les comptes de Piles et de Faces dans un bloc. Si vous vouliez dire un écart d’au moins 5 par rapport à 12,5 Piles, le seuil serait différent.
vous etes sur de ce resultat ? c est beaucoup 170 sur 400 !
Vous avez raison de vérifier — le résultat est bien d’environ 170 sur 400
Le seuil était bien défini comme une différence absolue d’au moins 5 entre Piles et Faces dans un bloc de 25 :
- (15) Piles ou plus, ou
- (10) Piles ou moins.
En effet, dans un bloc de 25, un écart de 5 correspond exactement à 15–10 ou 10–15. Ces résultats, ainsi que les écarts plus grands, représentent environ 42,4 % des blocs.
Donc, sur 400 blocs :
[ 400 \times 0{,}424 \approx 170. ]
C’est élevé, mais logique : un écart de 5 est seulement un écart-type pour la différence Piles-Faces d’un bloc de 25. Un écart d’au moins un écart-type arrive assez souvent.
Correction de vocabulaire : il ne s’agit pas d’un « écart moyen » de 5, mais d’un écart-type de 5. En pratique, sur 400 blocs, le nombre observé variera autour de 170 ; ce n’est pas garanti qu’il soit exactement égal à 170.
donc pris au hasard 85 ou les pile seront en avance et 85 ou ce seront les face ?
En moyenne, oui — environ 85 de chaque côté
Parmi les 400 blocs de 25 lancers, on s’attend à ce qu’environ 170 aient un écart d’au moins 5 :
- environ 85 blocs où Piles est en avance d’au moins 5 ;
- environ 85 blocs où Faces est en avance d’au moins 5.
C’est une espérance, pas une répartition garantie : les nombres observés peuvent différer. Cette symétrie vient du fait que la pièce est supposée équilibrée. Comme chaque bloc contient 25 lancers, il ne peut pas y avoir égalité parfaite entre Piles et Faces.
et quand est il de l observation du premier coup de ces blocs de 25 ? combien y en a t il qui arriveront a un ecart d'au moins 5 pile si le premier coup est pile ?
Si le premier lancer du bloc est Pile
Dans un bloc de 25 lancers, sachant que le premier est Pile, il reste 24 lancers indépendants et équilibrés.
Pour que l’écart final soit d’au moins 5 en faveur de Pile, il faut que le bloc compte au moins 15 Piles au total. Comme le premier lancer est déjà Pile, il faut donc obtenir au moins 14 Piles parmi les 24 lancers restants :
[ P(\text{écart d’au moins 5 en faveur de Pile}\mid \text{premier lancer = Pile}) = P\bigl(B(24, 1/2)\ge 14\bigr) \approx 0{,}271. ]
Donc, sur 400 blocs, si environ 200 commencent par Pile, on en attend environ :
[ 200 \times 0{,}271 \approx 54. ]
Environ 54 blocs commenceraient donc par Pile et finiraient avec un écart d’au moins 5 en faveur de Pile. C’est une moyenne attendue, pas un nombre garanti.
Précision : sans condition sur le premier lancer, la probabilité qu’un bloc de 25 ait un écart d’au moins 5 en faveur de Pile est plutôt environ 0,347; le 0,424 cité précédemment correspond à un écart d’au moins 5 dans l’un ou l’autre sens.
donc si le premier coup sur 25 commence par pile 54 fois sur 200 j aurai au moins 15 pile et 10 face ?
Oui, en moyenne — avec une précision importante
Si environ 200 blocs sur 400 commencent par Pile, alors on s’attend à ce qu’environ 54 de ces blocs comptent au moins 15 Piles et au plus 10 Faces.
Mais 54 n’est pas garanti : c’est une valeur moyenne. Le nombre réellement observé pourra être un peu plus ou moins élevé.
La probabilité pour un bloc donné, sachant que son premier lancer est Pile, est d’environ 27 % : il faut obtenir au moins 14 Piles parmi les 24 lancers restants.
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